1-9连续函数的运算与初等函数的连续性幻灯片.ppt

函数与极限 * * 第九节 连续函数的运算 与初等函数的连续性 定理1 （连续函数的四则运算法则） 一、 函数的和、差、积、商的连续性 【例1】 所以， 在其定义域内连续. 单调连续函数的反函数在其对应区间也是单调连续的，且单调性不变. Ix Iy x y 二、 反函数与复合函数的连续性 定理2（反函数的连续性） 如果函数 y=f (x) 在区间 Ix 上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数 x=f -1(y) 在对应的区间 上单调增加（或单调减少）且连续. 【例2】 反三角函数在其定义域内都是连续的. 定理3 设函数 由函数 与函数 复合而成， . 若 ，而函数 在 连续，则 定理4 设函数 由函数 与函数 复合而成， . 若函数 ，在 连续，且 ，而函数 在 连续，则复合函数 也连续. 说明 在求复合函数 的极限时，可作变量代换 （2） 在定理4的条件下，极限运算与函数运算可以交换顺序，即极限号可以穿过外层函数符号直接取内层极限，即： 【例3】求 . 解（1）作变量代换 而 在 连续， （2）极限运算与函数运算交换顺序 【例4】 求 解 （1）将函数可看作由 与 复合而成 . 而 在 连续，所以 （2） 【例5】求 解 原式 = 【例6】讨论幂函数 的连续性. 解 作为指数函数和对数函数 的复合函数. 指数函数和对数函数是连续的，根据定理4，复合函数 也是连续的. 【例7】证明函数 证 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的. 基本初等函数在其定义域内是连续的. 三、初等函数的连续性 一切初等函数在其定义域内的任一区间上都是连续的. 的连续区间为 (端点为单侧连续) 的连续区间为 例如： 【例8】求 解 【例9】 解 【例10】求 解 当x→0时，x ~ ln(1+x)，所以 当 x→0时，t →0. 【例11】 解 因为 所以 一般地，对于幂指函数 如果 那么 作业 习题 1-9 P.65 1. 3.(3)(5)(6)(7) 4.(1)(4)(5)(7)(8) 6. 思考题 1. 设 连续，求 解： 又 因为 连续， 故 即 因此， 思考题 的可去间断点个数为多少？ (2009数二) 2. 解： 由 得 由 得 又 和 故 都是可去间断点，共有3个。 以及 练 习 题 练习题答案 * *