1.3函数的连续性医学高等数学课件幻灯片.ppt

一、连续函数的四则运算  定理 1. 如果函数 f(x) , g(x)都在x=x0处连续 , 则有如下结论 (1) f(x) g(x)在x=x0处连续 ； (2) f(x) ? g(x)在x=x0处连续 。 (3)如果函数 f(x) , g(x)都在x=x0处连续 , 且g(x0) ? 0 ，则它们的商 f(x) / g(x) 在x=x0处连续 。 注意：上述定理的结论可以推广到任意有限个 函数的情况。 定理2 一切基本初等函数在其定义域内都 是连续的。 二、反函数的连续性 定理 3. 严格单调连续函数的反函数是严格单调连续函数。 根据上述定理，由函数 y=sinx在闭区 间 上严格单调增加且连续， 可 知其反函数 y=arcsinx 在闭区间[-1,1]上也是严格单调增加且连续的。 三、复合函数的连续性 定理4. 设函数 u=?(x) 在x?x0时的极限为a ,即 而函数 y=f(u)在点 u=a 处连续，则复合函数f[?(x)] 当x?x0时的极限也存在且等于f(a), 即 定理5 . 设函数 u=?(x) 在点x=x0时连续 ,且?(x0)=u0，而函数 y=f(u)在点 u= u0处连续，则复合函数f[?(x)] 在点x=x0时也连续 即 例 讨论函数 的连续性。 解：已知该函数在x=0处为振荡间断点，现在我们来讨论x? 0时的连续性。 该函数可看作是由函数 y=sinx 和函数y=1/x 复合而成的复合函数，而函数y=sinx 是(-?,+?)内的连续函数，函数y=1/x 是(-?,0) 和 (0,+?) 内的连续函数，于是由定理5 可知，本例中的函数在(-?,0) 和 (0,+?) 内是连续的。 四、初等函数的连续性 通过前面的讨论已经知道，所有基本初等函数在其定义域内都是连续的，由它们进行有限次的四则运算和有限次的复合所形成的函数仍然是连续的。即 定理 6 初等函数在其定义域的任何区间内都是连续的。 注意：如果初等函数的定义域中含有孤立点，则初等函数在这些孤立点处是不连续的。不过这种情况是不多见的，一般被忽略。例如 ,其定义域中只有一个点x=0。 练习：指出下列函数中那些是初等函数，并讨论它们的连续性 Part 3 闭区间上连续函数的性质 一、最大值最小值定理 二、介值定理 三、实例分析 一、 最大值最小值定理 定理1. 如果函数 y=f(x)在闭区间[a ,b]上连续, 则在闭区间[a,b] 上必存在x1 ，x2，使得对任意的x?[a ,b]，恒有 x y o x1 x2 a b f(x) 通俗地说就是：闭区间上的连续函数在该区间上必有最大值和最小值。它的几何意义如图所示。 推论：闭区间上的连续函数在该 区间上必有界。(但反之不真) 注意：在上述定理以及推论中， 区间为闭，函数为连续是两个 必不可少条件，否则其结论可 能不真。 例1 对于下列函数，讨论应用最大值与最小值定理的正确性。 解：（1）应用定理正确，最大值为1，最小值为 0.5； （2）函数在[-1，2]上不连续，不能应用该定理； （3）区间为开区间，不能应用该定理； （4）函数在[1，2]上不连续，不能应用该定理。 例2 函数 虽然在[-1，1]上不满足最大值与最小值定理的条件，但在 [-1，1]上确实存在最大值-1和最小值1。由此可以看出，函数在闭区