1.8函数的连续性幻灯片.ppt

* 第八节 函数的连续性 与间断点 函数连续性定义(continuity) 函数的间断点 小结 (discontinuous point) 第一章 函数与极限 * 连续性. 在自然界中,许多事物的变化是连续的, 如时间变动很微小时,气温的变化也很微小. 在高等数学中,主要的研究对象就是连续函数. 这种现象在函数关系上的反映就是函数的 从直观上不妨这样说, 连续函数的 特征就是它的图形是连续的, 也就是说,可以 一笔画成. 函数的连续性与间断点 * 1. 函数的增量 自变量 称差 为自变量在 的增量; 函数随着从 称差 为函数的 增量. 如图: 一、函数的连续性 函数的连续性与间断点 * 连续, 2. 连续的定义 定义1 设函数 f (x)在 内有定义, 若 则称函数f(x)在x0处 并称x0为函数f(x)的 连续点. 定义2 若 则称函数f(x)在x0处 连续. 把极限与连续性联系起来了,且提供了连续函数求极限的简便方法——只需求出该点函数特定值. 自变量在x0点的增量为无穷小时,函数的增量也为无穷小.形象地表示了连续性的特征. 采用了无穷小定义法 函数的连续性与间断点 连续性的定义形式不同, 这些定义中都含有 但本质相同. f (x)在 内有定义; (1) (2) (3) 三个要素: 存在; 函数的连续性与间断点 注 一般讲,证明的命题用函数连续的定 义1方便; 是判断分段函数在分界点处是否连续用 判断函数在某点是否连续, 尤其 定义2方便. * 补例1 证 定义2 试证函数 处连续. 函数的连续性与间断点 * 3. 左、右连续 左连续(continuity from the 右连续(continuity from the left); right). 左连续 右连续 函数的连续性与间断点 * 定理1 此定理常用于判定分段函数在分段点 处的连续性. 函数的连续性与间断点 * 补例2 解 不右连续. 所以 左连续, 函数的连续性与间断点 * 4. 连续函数(continous function)与连续区间 上的 或称函数在该区间上连续. 在区间上每一点都连续的函数, 称该区间 在开区间 右连续 左端点 右端点 这时也称该区间为 continuous 左连续 连续函数, 连续区间. 内连续 函数的连续性与间断点 * 例如, 有理整函数(多项式) 内是连续的. 因此有理分式函数在其定义域内的每一点 有理分式函数 只要 都有 因此有理整函数在 都是连续的. 见 pg42 函数的连续性与间断点 * 定义3 出现如下三种情形之一: 二、函数的间断点及其分类 无定义; 不存在; 间断点. 函数的连续性与间断点 第一类间断点(discontinuity point of the first kind): 及 均存在, 若 称 为可去间断点. 若 称 为跳跃间断点. 间断点分为两类: * 函数的连续性与间断点 补例3 讨论函数 解 为函数的 间断点. 第一类 且是可去间断点. 连续. 处无定义, 可去间断点. * 补例4 有定义, 故 为f (x)的 间断点. 第一类 的第一类间断点. 则点x0为函数 f(x) 的 且是跳跃间断点. 跳跃间断点 及 均存在, 则点x0为 函数的连续性与间断点 * 则可使x0变为连续点. 注 对可去间断点x0, 如果 于A, (这就是为什么将这种间断点称为 使之等 可去间断点的理由.) 补充 x0的函数值, 或改变 函数的连续性与间断点 * 第二类间断点(discontinuity point of the second kind): 及 中至少一个不存在. 若其中有一个为振荡, 若其中有一个为 称 为无穷间断点. 称 为振荡间断点. * 补例5 由于函数 无定义, 故 为f(x)的 间断点. 且 皆不存在. 第二类 第二类间断点: 至少有 且是无穷型间断点. 一个不存在. 函数的连续性与间断点 * pg59例2 有定义, 不存在, 故 为f (x)的 间断点. 第二类 且是振荡间断点. 之间来回无穷次振荡, 函数的连续性与间断点 * 可去型 第一类间断点 跳跃型 无穷型 无穷次振荡型 第二类间断点 函数的连续性与间断点 * EX 解 * 无穷型, 无穷次振荡型 三、小结 1. 函数在一点连续的定义、必须满足的 2. 区间上的连续函数; 3. 函数间断点的分类: 间断点 第一类间断点: 跳跃型, 可去型 第二类间断点: 函数的连续性与