12.3角的平分线的性质幻灯片.ppt

问题： 　　如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500m，这个贸易市场应建在何处？（比例尺为1 ∶20000） 解决问题： 作夹角的角平分线OC，截取OD=2.5cm ,D点即为贸易市场应建的位置. 证明：在△ADC和△ABC 中， AB=AD（已知）， AC=AC（公共边相等）， DC=BC（已知）， ∴ △ADC≌△ABC (SSS). ∴∠DAC=∠BAC（全等三角形对应角相等）， ∴ AE平分∠BAD（角平分线定义）. 观察折纸思考问题： 1.折痕PE和PD与角的两 边OA、OB有什么关系？ PD和PE相等吗？ 2.两次折叠形成的两个直角三角形全等吗？ 3.由此你能得出关于角平分线的结论吗？并证 明你的结论. 反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？ 例 已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等. 练习：如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上． 单击页面即可演示 思 考 S D C S O . 如图，AB＝AD，BC＝DC，沿着AC画一条射线AE，AE就是∠BAD的角平分线，你知道为什么吗？ D · · · · C B A E 想一想 D A B C E 　 ２.分别以M、N为圆心，大于 MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于C； 如何用尺规作角的平分线？ A Ｂ Ｏ Ｍ Ｎ Ｃ 作法： 　 １.以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交OA于Ｍ，交OB于Ｎ； ３.作射线OC,则射线OC即为所求（如图）． C O B A P D E 已知:如图, OC平分∠AOB, P是OC上一点, PD⊥OA,PE⊥OB . 求证:PD=PE. 证明: ∵OC平分∠AOB, P是OC上一 点（已知）, ∴∠DOP=∠EOP（角平分线定义）, ∵PD⊥OA,PE⊥OB （已知）, ∴∠ODP=∠OEP=90°（垂直的定义）. E D O A B P C 角平分线性质: 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 几何语言: ∵OC是∠AOB的平分线,PD⊥OA，PE⊥OB, ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角两边的距 离相等). 在△OPD和△OPE中, 　∠DOP=∠BOP（已证）, 　∠ODP=∠OEP（已证）, 　 OP=OP（已知）, ∴△OPD ≌△OPE(AAS), ∴PD＝PE（全等三角形对应边相等）. 已知：如图,QD⊥OA、QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上． 思 考 证明:∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知）， 　 ∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义）， 在Rt△QDO和Rt△QEO中， 　 QO＝QO（公共边）， QD=QE（已知）， ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）. 　 ∴ ∠QOD＝∠QOE, ∴ 点Q在∠AOB的平分线上. 已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上． 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE, ∴ 点Q在∠AOB的平分线上． 用数学语言表示为： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上, ∴ QD＝QE. 用数学语言表示为： 小 结 F A B C P M N 证明： 过点F作FG⊥AE于G,FM⊥BC于M ,,FH⊥AD于H. G H M ∵点F在∠BCE的平分线上， 　　　　 FG⊥AE，FM⊥BC. ∴FG＝FM. 又∵点F在∠CBD的平分线上， 　　　　FH⊥AD，FM⊥BC. ∴FM＝FH ,∴FG＝FH, ∴点F在∠DAE的平分线上.　　　 1.角平分线的性质定理： 在角平分线上的点到角的两边的距离相等. 2.角平分线的判定定理: 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 3.角平分线的性质定理和角平分线的判定定理是证明 角相等、线段相等的新途径. 本节课学习了哪些知识？有哪些