2 z变换与离散时间傅里叶变换幻灯片.ppt

2.1 引言 信号与系统的分析方法：时域、变换域分析方法 连续时间信号与系统变换域分析方法： 拉普拉斯变换、傅立叶变换 离散时间信号与系统变换域分析方法： z变换、离散时间傅立叶变换 z变换在离散时间系统中的作用如同拉斯变换在连续时间系统中的作用一样，它把描述离散系统的差分方程转化为简单的代数方程，使其求解大大简化。z变换是分析离散时间信号与系统的重要工具。 * 图2-19 序列及其傅里叶变换 * 总结： 对于连续信号，我们采用拉氏变换和傅氏变换进行频域分析，傅氏变换是虚轴上的拉氏变换，反映了信号的频谱。 对于离散信号（序列），相应的有z变换和序列傅氏变换，序列傅氏变换是单位圆上的z变换，反映的是序列的频谱（数字频谱）。 理想采样是一个有用的数学抽象，它沟通了连续信号拉氏变换、傅氏变换与采样后序列的z变换以及序列傅氏变换的关系，这些关系反映了频谱周期延拓及奈奎斯特采样定律等的基本概念。 * 表2-3 序列傅里叶变换的主要性质 * 表2-3 序列傅里叶变换的主要性质 * 2.9 傅里叶变换的一些对称性质 一、共轭对称序列 若序列xe(n)满足以下共轭对称关系 则称序列xe(n)为共轭对称序列。当xe(n)为实序列时，则xe(n)变成偶对称序列，即满足 实序列 （2-116） （2-115） 2. 共轭对称序列的实部是偶对称序列, 虚部是奇对称序列，即 1.定义： * 二、共轭反对称序列 若序列xo(n)满足以下共轭反对称关系 则称序列xo(n)为共轭反对称序列。当xo(n)为实序列时，则xo(n)变成奇对称序列，即满足 实序列 （2-120） （2-119） 2. 共轭反对称序列的实部是奇对称序列, 虚部是偶对称序列，即 1.定义： * 三、序列可表为共轭对称与共轭反对称序列之和 任一序列x(n)可表为共轭对称序列与共轭反对称序列之和（对于实序列，就是偶对称序列与奇对称序列之和），即 其中： （ xe(n)为共轭对称序列） （ xo(n)为共轭反对称序列） * 例2-6 已知 求z反变换。 解 由于极点a处在围线c以外(见图2-13），当n≥0时围线c内无极点；而n0时只在z=0处有一个-n阶极点。因此 * * 上例中，在n0时，也可用围线外极点a的留数来求，即 即 注意：在应用留数法时，收敛域是很重要的。 同一个函数X(z)，若收敛域不同，则对应的序列就完全不同. * 2.4 z变换的基本性质和定理 1. 线性 Z变换是一种线性变换，它满足叠加原理，即若有: Z［x(n)］=X(z) Rx-|z|R x+ Z［y(n)］=Y(z) Ry-|z|Ry+ 那么对于任意常数a、b，z变换都能满足以下等式： Z［ax(n)+by(n)］=aX(z)+bY(z) R-|z|R+ (2-28) 注意：1）通常两序列和的z变换的收敛域为它们各自收敛域的公共区域，即 R-=max(Rx-, Ry-) R+=min(Rx+, Ry+) 2）如果线性组合中某些零点与极点相互抵消，则收敛域可能扩大。 * 2. 序列的移位(※) 式中：m为正为延迟(右移)， m为负为超前(左移)。 (2-29) 若序列x(n)的z变换为 则有 证明： * 例：求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z变换。 解： * 3. 乘以指数序列（z域尺度变换） 若 则 4. 序列的线性加权（z域求导数） 若已知 则 * 5. 共轭序列 式中，符号“*”表示取共轭复数。 若 则 6. 翻褶序列 若 则 * 对于因果序列x(n)，即x(n)=0, n0, 有 7. 初值定理 8. 终值定理 设x(n)为因果序列，且X(z)=Z［x(n)］的全部极点，除有一个一阶极点可以在z=1 处外，其余都在单位圆内，则 * 九、有限项累加特性 设x(n)为因果序列，即 则 * 10. 序列的卷积和（时域卷积和定理）(※) 则 设 注意： 1）若时域为卷积和，则z变换域是相乘的关系； 2） 乘积Y(z)的收敛域为X(z)、H(z)收敛域的公共部分。 若有极点被抵消，收敛域可扩大。 * 在线性移不变系统中，如果输入为x(n)，系统的单位脉冲响应为h(n)，则输出y(n)是x(n)与h(n)的卷积;利用时域卷积