2.2 离散时间信号的傅立叶变换(DTFT)-数字信号处理幻灯片.ppt

2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT） 2.2.1 DTFT定义 离散时间序列的傅立叶变换 是ω的连续函数，且是周期的，周期为2π。 2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT） 四种形式的傅立叶变换 1）连续、非周期x（t） 连续、非周期 2）连续、周期x（t） 离散、非周期 2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT） 3）离散、非周期x（n） 连续、周期 4）离散、周期 离散、周期 2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT） 总结：若x在时域是周期的，那么在频域X一定是离散的， 若x在时域是非周期的，那么X一定是连续的。 第四种变换在时域和频域都是离散的，且都是周期的，周期都为N点，在计算机上能方便地利用DFT来实现信号的频谱分析。 2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT） 时域卷积定理： y(n)=x(n)*h(n) 频域卷积定理： 若 y(n)= x(n) h(n) ，则 2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT） Parseval（巴塞伐）定理： 信号在时域的总能量等于其频域的总能量，频域 的总能量等于 在一个周期内的积分。 2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT） 2.DTFT的反变换公式 傅立叶系数展开式为 2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT） Wiener-khinchin （维纳-辛钦）定理： 若x(n)是功率信号，其自相关函数的定义为： 功率信号x(n)的功率谱 为： 2.2 离散时间信号的傅立叶变换（DTFT） 此式称为确定性信号的维纳-辛钦定理，它说明功 率信号x(n)的自相关函数和其功率谱是一对傅立 叶变换 信号的总功率 2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT） 小结：不管x(n)是实信号还是复信号，其功率谱 始终是ω的实函数，即功率谱失去了相位信息。  2.2.2 信号截短对DTFT的影响 例：将一个n=-∞～+∞的无限长信号x (n) 截短，最简单的方法是用一个窗函数去乘该信号，若所用的窗函数为矩形窗，即 2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT） 2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT） 那么，xN(n)=x (n)d (n),实现了对x (n)的自然截短。 解：先研究d (n)的频谱特点： 2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT） 即： 记 2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT） 可理解为 的增益，可正可负，当 ω=0时， 当ωN/2=πk时，ω=2πk/N 时， 在ω=0两边第一个过零点间的 部分称为 的主瓣，对矩形窗来说，该主瓣宽 度B=4π/N，主瓣以外部分（|ω|＞2π/N）称为 的边瓣，显然，N增大时，主瓣宽度B减小， 当N→∞时， 趋于δ（ω），这时相当于对信 号没有截短。 2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT） 若xN(n)=x (n) d (n) ，那么 卷积的结果是 的主瓣对 起到了“平滑” 的作用，降低了 中谱峰的分辨能力。 加窗对频域分析带来的另一个影响是频谱泄露 （leakage） 2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT） 例如：假设x (n)为两个正弦信号之和，那么起频 谱在ω1，ω2处各有一个谱线，若 的主瓣宽 度4π/N大于|ω2-ω1|，那么在 中将分辨 不出这两根谱线，这是由于窗函数d（n）过短， 而使其频谱的主瓣过宽，边瓣过大所引起的，若 增加数据长度N，使4π/N＜|ω2 -ω1 |，那么， 这两个谱峰可分辨出。