2.2一元函数微积分学幻灯片.ppt

2.2 一元函数微积分学 2.2.1 导数与微分 1、极限函数p=limit(F,x,a)、绘图函数plot； 2、向量或矩阵求导指令：diff 1) Y = diff(X)：计算向量或矩阵的差分，若X是向量，则diff(X) 返回[X(2)-X(1) X(3)-X(2) ... X(n)-X(n-1)]；若X是矩阵，则diff(X) 返回X的各列差分矩阵[X(2:m,:)-X(1:m-1,:)]. 如：x = [1 2 3 4 5]; y = diff(x)其输出结果为y = 1 1 1 1 2) Y = diff(X,n)：计算n阶向量或矩阵的微分(或差分)； 如：x = [1 2 3 4 5]; z = diff(x,2) 其输出结果为z = 0 0 0 3、符号求导指令diff 1) diff(S,v) 或 diff(S,sym(v))：返回符号表达式S对自变量v的导数； 2) diff(S,n)：对于正整数n，求S的n阶导数； 3) diff(S,v,n) 与 diff(S,n,v)：返回符号表达式S对自变量v的n阶导数，缺省n时为求1阶导数、缺省v时默认变量x. 4、diff(y)./diff(x)是求近似导数 . 2.2.2 微分学基本定理 1、求导指令diff； 2、绘图指令plot； 3、用符号运算求解一般方程指令： solve(f)：解方程f； solve(f，x )：对变量x解方程f. 4、泰勒(Taylor) 展式指令： taylor(f,n)：返回函数f的n-1阶麦克劳林（Maclaurin）展开式，其中f为自变量v的符号函数； taylor(f,n,v,a) ：返回函数f在a点的n-1阶泰勒(Taylor)展开式，其中f为自变量v的符号函数，n, v,与 a 可以省略即taylor(f)指令， 此时a=0、n默认为6、v为f中所确定的符号变量. 5、符号替换指令： subs(S,old,new) 用新的符号变量或数值变量替换表达式S中旧的符号变量或表示一个变量名的字符串.详细的应用可见Matlab help. 2.2.3 函数性态研究 1、前面用过的极限指令limit、求导指令diff、绘图指令plot等； 2、添加网格指令：grid on 3、求一元函数局部极小值点指令：fmin x = fmin(fun,x1,x2)： x = fmin(fun,x1,x2,options)： 4、ezplot(f,[a,b])绘出函数图像指令；axis([a,b,c,d])限定当前坐标轴的坐标范围指令. §2.4 定积分及应用 1、符号积分命令int int(fun)：求函数fun的不定积分； int(fun,var)：求函数fun关于变量var的不定积分； int(fun, var, a，b,)：求函数fun的在[a,b]间的定积分或广义积分； 2、数值计算定积分quad， quad1，trapz ①quad(fun,a,b,tol)：fun为被积的函数名，a, b微积分上下限，tol为精度，若缺省，其缺省值为1.0e-6； ②quad(fun,a,b,tol,trace)：参数fun,a,b,tol用法与上面相同，而输入第五个非零参数trace，是对积分过程通过被积函数上的图像进行跟踪. 对于quad使用自适应步长Simpson法，而quadl的调用格式与quad一致，但它使用Lobbato算法，其精度和速度要比quad的精度高. ③Z = trapz(X,Y)：用于进行梯形积分，精度低，适用于数值函数和光滑性不好的函数. 其中X表示积分区间的离散化变量，Y与X同维的向量，表示被积函数，Z返回积分的近似值. quad， quad1，trapz都不能用于广义积分，此外由于数值积分的特点，对一些假奇异积分也不能直接求解. 3、Inline * 例1 求正弦函数的一阶导数与函数的二阶导数。 解：M文件程序处理如下： syms x; f=sin(5*x); g=exp(x)*cos(x); df=diff(f) dg=diff(g,2) 例2 设函数，讨论在处的左、右导数与导数。 解：由若函数在点导数的定义和导数存在的充要条件，考察在在点的左右导数。M文件程序设计如下： syms x; diffleft=limit(abs(x)/x,x,0,left) diffright=limit(abs(x)/x,x,0,right) 例3 已知抛射线的运动轨迹的参数方程为 求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向。 解：该问题的解决分为两步，先求在时刻t的运动速度的大小