2.2离散性随机变量及其概率分布幻灯片.ppt

（3）二项分布的图形特点 在图1和图2中， 分别给出了当 和 时二项分布的图形. 从图易 看出： 对于固定 及 当 增加时， 概率 先是随之增加直至达到最大值， 随后 单调减少. 例5 已知100个产品中有5个次品，现从中有放回 地取3次，每次任取1个，求其中取得次品数X的最可能值。 解: X：0，1，2，3 最可能取得的次品数是0. 例6 某人进行射击, 设每次射击的命中率为 0.02, 独立射击400次, 试求至少击中两次的概率. 解 将一次射击看成是一次试验. 设击中的次数为 则 的分布律为 于是所求概率为 二项分布 泊松分布 （4）二项分布产生的实际背景 保险业是最早应用概率论的行业之一.保险公司为了估计企业的利润，需要计算各种各样的概率. 例如：若一年中某类保险者里面每个人死亡的概率等于0.005，现有10000个人参加这类人寿保险，试求在未来一年中在这些保险者里面，⑴ 有40个人死亡的概率; ⑵ 死亡人数不超过70个的概率. 记 为未来一年中在这些人中死亡的人数，则 解： 4、泊松分布 （1）定义4 若一个随机变量 的概率分布为 则称 服从参数为 的泊松分布， 记为 或 说明 k=0,1,2, … （1） （2） 人物介绍 泊松 （2）泊松分布的图形 特征如右图所示. （3）泊松分布的背景及应用 　　二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察 与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时,他 们做了2608次观察(每次时间为7.5秒),发现放射 性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子数X 服从泊松分布. 在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等, 都服从泊松分布. 电话呼唤次数 交通事故次数 商场接待的顾客数 地震 火山爆发 特大洪水 例7 某一城市每天发生火灾的次数 服从参数 的泊松分布, 求该城市一天内发生 3 次 或 3 次以上火灾的概率. 解 由概率的性质, 得 （4）二项分布的泊松近似 对二项分布 当试验次数 很大时， 计 算其概率很麻烦. 例如， 要计算 故须寻求近似计算方法. 这里先介绍二项分布的 泊松近似， 在本章第四节中还将介绍二项分布的 正态近似. 泊松定理 在 重伯努利实验中， 事件 在 每次试验中发生的概率为 若当 时， 为常数), 则有 注 (1) 定理的条件意味着当 很大时， 必定很小. 因此， 泊松定理表明， 当 很大， 很小时有下列近似公式： 实际计算中， 时近似效果较好. (2) 把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀 有事件， 此类事件如： 地震、火山爆发、特大洪 水、意外事故等， 则由泊松定理知， 重伯努利试 验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布. 二项分布 泊松分布 例8 某公司生产一种产品 300 件, 根据历史生产记 录知废品率为 0.01, 问现在这 300 件产品经检验 品数大于 5 的概率是多少? 解 把每件产品的检验看作一次伯努利试验, 它有 两个结果: {正品}, {废品}. 检验 300 件产 品 用 表示检验 出的废品数, 则 我们要计算 有 于是, 得 对 废 就是作 300 次独立的伯努利试验. 查泊松分布表, 得 例9 一家商店采用科学管理, 由该商店过去的销 售记录知道, 某种商品每月的销售数 的泊松分布来描述, 为了以 95%以上的把 握保证不脱销, 问商店在月底至少应进该种商品 多少件? 解 设该商品每月的销售数为 已知 服从参数 的泊松分布. 设商店在月底应进该种商品 件, 求满足 的最小的 即 可以用参数 查泊松分布表, 得 于是得 件. 5. 几何分布 若随机变量 X 的分布律为 则称 X 服从几何分布. 实例 设某批产品的次品率为 p,对该批产品做有放回的抽样检查 , 直到第一次抽到一只次品为止 ( 在此之前抽到的全是正品 ), 那么所抽到的产品数 X 是一个随机变量 , 求X 的分布律. 所以 X 服从几何分布. 说明 几何分布可作为描述某个试验 “首次成功” 的概率模型. 解 例10 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，每盏信号灯以 1/2 的概率允许或禁止汽车通过. 以 X 表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数，求 X 的分布律. (信号灯的工作是相互独立的). P{X=3}=(1-p)3p 解： 以 p 表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则X 的分布律为： pk p 或写成 P{X= k} = (1- p)k