2.7函数的连续性幻灯片.ppt

综上可知：f(x)的间断点是x=1,且x=1是第一类跳跃间断点 P57 3.当k为何值时? 在其定义域内连续 ？ 解: 而在x?0处? f(0)?k? 因为f(x)在区间(??, 0)和(0, ??)内是连续的， 要使f(x)在定义域(??, +?)内连续，只需在x?0处连续 所以当k?5时? f(x)在其定义域内连续? (1) 用极限存在的充要条件(P34 定理2.1)求分段函数在分段点处的极限（例2.14、例2.30）; 求极限的方法: P43 (2) 用极限的四则运算法则（P39定理2.7）求极限； P42 如出现 等情况,可对函数进行恒等变形， 恒等变形的技巧有:因式分解约分、分子分母同除最高次幂、有理化、通分，用等差数列和等比数列求和公式化简等等（例2.22、例2.24-例2.29）。 (3) 用“适当变型法”求极限.  P42 首页 上一页 下一页 结束 《微积分》 (第三版) 教学课件 首页 上一页 下一页 结束 《微积分》 (第三版) 教学课件 一、函数改变量 六、函数的间断点 §2.7 函数的连续性 五、闭区间上连续函数的性质 三、函数连续的运算法则 四、利用函数连续性求函数极限 二、连 续函数的概念 一、函数改变量 函数的改变量 设变量t从它的初值t1改变到终值t2? 终值与初值之差t2?t1? 称为变量t的改变量(或增量)? 记作?t?t2?t1? 设有函数y?f(x)? 当自变量x从x0改变到x0??x时? 函数y相应的改变量为 Dx Dy ?y?f(x0??x)?f(x0)? 函数在某一点连续，表现在图像上是指函数在该点邻近是不间断的。观察下面两条曲线 二、连续函数的概念 二、连续函数的概念 定义2?9(函数在一点的连续性) 设函数y?f(x)在点x0的某个邻域内有定义? 如果当自变量x在点x0处取得的改变量?x趋于0时? 函数相应的改变量?y也趋于0? 即 则称函数y?f(x)在点x0处连续? 从而有函数在一点连续的等价定义: 注: 定义2?10(连续性的等价定义) 设函数y?f(x)在点x0的某个邻域内有定义? 如果 则称函数y?f(x)在点x0处连续? 定义2?10(连续性的等价定义) 设函数y?f(x)在点x0的某个邻域内有定义? 如果 则称函数y?f(x)在点x0处连续? 例2.49 解： 例2.50 解： 定义2?11(函数在闭区间上的连续性) 如果函数f(x)在区间(a, b)内每一点都连续? 且在左端点a处右连续，右端点b处左连续，则称f(x)在[a, b]上连续? 并称[a, b]是f(x)的连续区间? 说明? 若 , 则称函数?(x)在x0 处 左连续; 则称函数 ?(x)在 x0 处右连续. 注: 函数 ?(x) 在 x0 处连续的充要条件是 ?(x) 在 x0处既左连续又右连续，即 例 已知函数 在点x = 0处连续，求a的值. 解 三、连续函数的运算法则 定理2?9 如果函数f(x)与g(x)在点x0处连续? 则函数 在点x0处也连续? 例2.51求 四、利用函数连续性求函数的极限 求初等函数在有定义点 x0的极限? 只需将x0 代入求出f(x0)即可? 解： 如果函数在一点x0处连续? 则 例 因为y?sin x在任意一点连续? 所以有 即对于连续函数，极限运算和函数法则运算可以换序. 例2.52 求 解： 五、在闭区间上连续函数的性质 定理2?10(有界性定理) 如果函数y?f(x)在闭区间[a, b]上连续? 则f(x)在这个区间上有界? 定理2?11(最大值与最小值定理) 如果函数y?f(x)在闭区间[a, b]上连续? 则它在这个区间上一定有最大值与最小值? 定理2?12(介值定理) 如果函数y?f(x)在闭区间[a, b]上连续? m与M分别为f(x)在[a, b]上的最小值与最大值? 则对介于m与M之间的任一实数c(即m?c?M)? 至少存在一点??(a, b)? 使得f(?)?c? 推论2.3(零点定理) 如果函数y?f(x)在闭区间[a, b]上连续? 且f(a)与f(b)异号? 则至少存在一点??(a, b)? 使得f(?)?0? 例2.53 利用零点定理证明方程 在区间(4,5)内至少有一个实根。 证