2.图像变换(青岛大学)幻灯片.ppt

【例】一幅数字图像及对其进行二维WHT变换的结果。 （a）原图像； （b）二维WHT结果 类似于FFT，WHT也有快速算法FWHT， 也可将输入序列f(x)按奇偶进行分组，分别进行WHT。 WHT的变换核是可分离和对称的， 因此二维WHT也可分为两个一维的WHT分别用FWHT进行变换而得到最终结果，由此便可实现二维的FWHT。 三、快速沃尔什变换（FWHT） 小结： WHT是将一个函数变换成取值为＋1或－1的基本函数构成的级数，用它来逼近数字脉冲信号时要比FFT有利。 WHT只需要进行实数运算，存储量比FFT要少得多， 运算速度也快得多。 WHT在图像传输、 通信技术和数据压缩中被广泛使用。 5.4 沃尔什/哈达玛变换 * 离散K-L变换 又称为霍特林(Hotelling)变换 KL(Karhunen-Loeve)或DKT 以图像的统计性质为基础的 变换核矩阵由图像阵列的协方差矩阵的特征值和特征向量所决定－又称为特征向量变换 * 当变量之间存在一定的相关关系时，可以通过原始变量的线性组合，构成数目较少的不相关的新变量代替原始变量，而每个新变量都含有尽量多的原始变量的信息。这种处理问题的方法，叫做主成分分析，新变量叫做原始变量的主成分。 目的是寻找任意统计分布的数据集合之主要分量的子集。相应的基向量组满足正交性且由它定义的子空间最优地考虑了数据的相关性。将原始数据集合变换到主分量空间使单一数据样本的互相关性(cross-correlation)降低到最低点。 * 图像协方差矩阵 假设对某幅N×N的图像f(x,y)，在某个传输通道上传输了M次，因会受到各种因素的随机干扰，接收到是一个图像集合 将M次传送的图像集合写成M个N2维向量{X1,X2,…Xi,…XM}, 生成向量的方法可以采用行堆叠或列堆叠的方法，对第i次获得的图像fi(x,y)，可用N2维向量Xi表示： * 问题是：如何选取一个合适的正交变换A，使得变换后的图像Y=AX 1)是具有MN2个分量的向量 2)由Y经反变换而恢复的 (向量X的估值)和原始图像具有最小的均方误差，即 称满足这两个条件的正交变换A为K-L变换。如果能找到这样一个变换，那么就意味着经过一个变换，不仅删除了N2-M个分量，并且由变换结果Y重新恢复的图像 是有效的过滤了随机干扰的原图像的最佳逼近。 * X向量的协方差矩阵CX定义为 设ei和λi是协方差矩阵CX对应的特征向量和特征值，将特征值按减序排列，即 则K-L变换核矩阵A的行用CX的特征值λi所对应的特征向量ei构成： * 直接求矩阵 CX的特征值和特征向量很困难。这是因为CX是N2×N2维矩阵，尽管图像的大小N可能不是很大的，但N2却是很大的数据。这样求其特征向量和特征值速度较慢。但如果样本图象个数M不太多，可以先计算出M×M维方阵L＝ATA的特征值μk和特征向量 vk 左乘矩阵A，则有 是矩阵CX的 特征向量 可以选择P(P≤M)个较大特征值对应的特征向量（主成分），构造新的P维主成分空间Q 因为CX是实对称矩阵，总能找到一个标准正交的特征向量集合，使A-1=AT，那么可得K-L反变换为 * K-L变换的性质和特点 （1）Y的平均值向量my＝0，即为零向量0 （2）Y向量的协方差 * （3）对角性 对角线上的元素是原始图像向量的协方差矩阵CX对应的特征值λi，它也是Y向量的方差。而非对角线上的元素值为0，说明Y向量中各元素之间相关性小，而CX的非对角线上元素不为0，说明原始图像元素之间相关性强，这就是采用K-L变换进行编码，数据压缩比大的原因 显然K-L坐标系将矩阵CX对角化了，换句话说，通过K-L变换，消除了原有向量X的各分量之间的相关性，从而可能去掉那些带有较少信息的坐标轴，以达到降低特征空间维数的目的。 * X1 X2 e 1 e 2 在原来坐标系中，要用两个分量X1,X2来表示各个样本，而在K-L坐标系中，只要用e1就可以，去掉e2并不会带来很大的误差 假设矩阵CX只有少数几个数值大的特征值，而其余的特征值数值很小，K-L坐标系就可以有效的进行信息压缩 * K-L变换的最大优点是去相关性好，可用于数据压缩和图像旋转 主要困难是由于协方差矩阵CX求特征值λ和特征向量解方程的计算量大，同时K-L变换是非分离的，二维不可分，一般情况下，K-L变换没有快速算法 * 实例 以K-L变换进行自动的人脸识别为例说明 我们把一幅数字图像看成一个矩阵或一个数组，用B(i,j)或[bij] 表示，一幅N×N大小的人脸图像按列相连构成一个N2维矢量 x=( b11 b21…bN1 b12b22…bN2 …b1N b2N…bNN) 它可视为N2维空间中的一个点，假设N=