2014版《复习方略》课件(苏教版数学理)第八章 第五节椭圆(一)幻灯片.ppt

【拓展提升】 1.用待定系数法求椭圆标准方程的四个步骤 (1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能. (2)设方程：根据上述判断设方程 或 (3)找关系：根据已知条件，建立关于a,b,c的方程组. (4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求. 【提醒】当椭圆焦点位置不明确而无法确定标准方程时， 可设为 也可设为Ax2+By2=1(A＞0,B＞0且A≠B). 2.利用椭圆几何性质的注意点及技巧 (1)注意椭圆几何性质中的不等关系 对于椭圆标准方程中x,y的范围，离心率的范围等，在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到这些不等关系. (2)利用椭圆几何性质的技巧 求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系. (3)求椭圆的离心率问题的一般思路 求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a,b,c的等式(或不等式)，利用a2=b2+c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围. 【变式训练】定义：离心率 的椭圆为“黄金椭圆”. 已知E： 的一个焦点为F(c,0)(c0)，则E为 “黄金椭圆”是“a，b，c成等比数列”的______条件.(填 充分不必要、必要不充分、充要或既不充分也不必要) 【解析】若E为黄金椭圆，则 ∴b2=a2-c2=a2- 所以a,b,c成等比数列(a,b,c全不为零). 若a,b,c成等比数列， 则b2=ac?a2-c2=ac?e2+e-1=0， 又0e1,所以 故E为黄金椭圆. 答案：充要 考向 3 椭圆的焦点三角形 【典例3】已知P是椭圆 上一点，F1,F2 分别是左、右两个焦点. (1)若∠F1PF2=θ(0＜θ＜π)，求证:△F1PF2的面积为 (2)若存在点P,使∠F1PF2=90°，求椭圆离心率的取值范围. (3)若过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点， △ABF2是正三角形，求这个椭圆的离心率. 【思路点拨】(1)△F1PF2为焦点三角形，设PF1=m, PF2=n,则m+n=2a, 而 只要将mn用m+n表示出来即可. (2)若求离心率e的取值范围，则必须依据条件，得到关于e的不等式求解. (3)利用 求解. 【规范解答】(1)如图所示，设PF1=m, PF2=n, 则m+n=2a， △F1PF2的面积为S，则 ① 在△F1PF2中，(2c)2=m2+n2-2mncos θ =(m+n)2-2mn(1+cos θ), 又m+n=2a,1+cos θ≠0,∴ ② 由①②得 (2)方法一：当∠F1PF2=90°时，由(1)得4c2=4a2-2mn, 又 (当且仅当m=n时取等号), ∴4a2-4c2≤2a2, ∴e的取值范围为 方法二: 因为椭圆上存在点P,使∠F1PF2=90°， 所以以F1F2为直径的圆与椭圆有公共点，∴c≥b, ∴c2≥a2-c2,可得e的取值范围为 (3)设AF1=d,由△ABF2是正三角形知 AF2=2d,F1F2= 所以椭圆的离心率 【拓展提升】记椭圆上一点P与两个焦点F1，F2构成的三角形为焦点三角形，对焦点三角形的考查是高考的热点.在会推导会应用的情况下熟悉下列结论，可大大提高解题速度. ①|PF1-PF2|≤F1F2＜PF1+PF2(常用来求范围或最值)； ②当P为短轴端点时∠F1PF2最大； ③当P为短轴端点时，三角形F1PF2的面积最大为bc. 【变式训练】(1)(2013·南京模拟)椭圆 上的点P 到它的两个焦点F1,F2的距离之比PF1∶PF2= 且∠PF1F2= α(0α )，则α的最大值为______. (2)已知F1,F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2=60°.求椭圆离心率的取值范围. 【解析】(1)∵PF1∶PF2= PF1+PF2=2a,∴PF1= 又∵F1F2=2c, 在△PF1F2中， 当且仅当 时取“=”. ∴∠PF1F2的最大值为 即 答案： (2)不妨设椭圆方程为 PF1=m,PF2=n. 在△PF1F2中，由余弦定理可知， 4c2=m2+n2-2mncos 60°. ∵m+n=2a,∴m2+n2=(m+n)2-2mn=4a2-2mn, ∴4c2=4a2-3mn. 又 (当且仅当m=n时取等号)， ∴4a2-4c2≤3a2,