2014版《复习方略》课件(苏教版数学理)第十章 第一节圆锥曲线的统一定义、抛物线幻灯片.ppt

【变式备选】已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y 轴的距离的差等于1. (1)求动点P的轨迹C的方程. (2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1,l2，设l1与轨迹C 相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求 的最小值. 【思路点拨】(1)利用已知的距离关系求动点P的轨迹方程. (2)设出l1的方程，联立l1和轨迹C的方程，利用根与系数的关系求解. 【解析】(1)设动点P的坐标为(x,y)， 由题意有 化简得y2=2x+2|x|, 当x≥0时，y2=4x;当x0时,y=0. 所以动点P的轨迹C的方程为y2=4x(x≥0)和y=0(x0). (2)由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程 为y=k(x-1)． 由 得k2x2-(2k2+4)x+k2=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实根，于是 因为l1⊥l2，所以l2的斜率为 设D(x3,y3),E(x4,y4), 则同理可得x3+x4=2+4k2,x3x4=1, 故 =(x1+1)(x2+1)+(x3+1)(x4+1) =x1x2+(x1+x2)+1+x3x4+(x3+x4)+1 当且仅当 即k=±1时， 取最小值16． 1.如图，已知点A(1，2)在椭圆 内，F的坐标为 (2,0)，在椭圆上求一点P，使PA+2PF最小. 【解析】∵a2=16，b2=12， ∴c2=4，即c=2. ∴F为椭圆的右焦点，并且离心率 为e= .如图，设P到右准线的距离为d， 则PF= d,d=2PF.∴PA+2PF=PA+d. 由几何性质可知，当P点的纵坐标(横坐标大于零)与A点的纵坐标相同时，PA+d即PA+2PF最小. 把y=2代入 ，得x= (负值舍去)， 即P( ,2)为所求. 【变式备选】已知椭圆 P为椭圆上任意一点，F为 左焦点，求PF的取值范围. 【解析】设点P的坐标为(x,y). ∵椭圆 .∴a=4,b=3,c= . 由圆锥曲线的统一定义知PF=ed1= ∵x∈［-4,4］，∴PF∈ . 故PF的取值范围是 . 2.已知双曲线 的离心率 ，左，右焦点分别为 F1，F2，左准线为l1，能否在双曲线的左支上找到一点P，使 得PF1是P到l1的距离d与PF2的等比中项. 【解析】设在左半支上存在点P，使PF12=PF2·d，由双曲线的 统一定义知 即 ① 再由双曲线的定义，得 ② 由①②，解得： ∴ ③ 利用 由③式得e2-2e-1≤0， 解得 ∵e1,∴ ，与已知 矛盾. ∴符合条件的点P不存在. 3.(2012·福建高考)如图，等边三角 形OAB的边长为 ，且其三个顶点均 在抛物线E：x2=2py(p0)上. (1)求抛物线E的方程. (2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相交于点Q.证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点. 【思路点拨】(1)利用等边三角形边长为 及抛物线的性质确 定出点B的坐标，从而用待定系数法求出p. (2)设出P点坐标，建立直线l的方程，与y=-1联立求得Q点坐 标，再设以PQ为直径的圆恒过y轴上的点M(0,y1)，根据 ＝0恒成立，求出y1为常数得证，或对P点坐标取特殊值，先研 究出以PQ为直径的圆与y轴交于的定点，再证明与变量无关. 【解析】(1)依题意，OB＝ ,∠BOy=30°. 设B(x,y)，则x=OBsin 30°＝ ， y=OBcos 30°＝12，所以B( ,12). 因为点B在x2=2py上， 所以 ，解得p=2. 故抛物线E的方程为x2=4y. (2)由(1)知 设P(x0,y0)(x0≠0)， 且l的方程为 即 ，由 得 所以Q 方法一：设以PQ为直径的圆与y轴的一个交点为M(0，y1)，令 对满足 的x0,y0恒成立. 由 得 即 由于(*)式对满足 恒成立，所以 解得y1=1.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1). 方法二：取x0=2,此时P(2,1),Q(0,-1),