2017创新导学案(人教版·文科数学)新课标高考总复习配套课件-第八章 立体几何 8-4幻灯片.ppt

跟踪训练4 (2015·山东)如图，在三棱台DEF-ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点． (1)求证：BD∥平面FGH. (2)若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF＝DE，∠BAC＝45°，求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小． 【解析】 (1)证明：证法一：如图(1)，连接DG，CD，设CD∩GF＝O，连接OH. 在三棱台DEF-ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点， 可得DF∥GC，DF＝GC， 所以四边形DFCG为平行四边形， 则O为CD的中点．又H为BC的中点， 所以OH∥BD.又OH?平面FGH，BD?平面FGH， 所以BD∥平面FGH. 证法二：在三棱台DEF-ABC中，由BC＝2EF，H为BC的中点， 可得BH∥EF，BH＝EF， 所以四边形BHFE为平行四边形，可得BE∥HF. 在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点， 所以GH∥AB. 又GH∩HF＝H，所以平面FGH∥平面ABED. 因为BD?平面ABED，所以BD∥平面FGH. 方法二：如图(3)，作HM⊥AC于点M，作MN⊥GF于点N， 连接NH.设AB＝2，则CF＝1. 思想与方法系列12 立体几何证明问题中的转化思想 【典例】 (12分)如图所示，M，N，K分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点． 求证：(1)AN∥平面A1MK； (2)平面A1B1C⊥平面A1MK. 【思维点拨】 (1)要证线面平行，需证线线平行． (2)要证面面垂直，需证线面垂直，要证线面垂直，需证线线垂直． 【证明】 (1)如图所示，连接NK. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中， ∵四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形， ∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，C1D1∥CD，C1D1＝CD.(2分) ∵N，K分别为CD，C1D1的中点， ∴DN∥D1K，DN＝D1K， ∴四边形DD1KN为平行四边形．(3分) ∴KN∥DD1，KN＝DD1， ∴AA1∥KN，AA1＝KN. ∴四边形AA1KN为平行四边形．∴AN∥A1K.(4分) ∵A1K?平面A1MK，AN?平面A1MK， ∴AN∥平面A1MK.(6分) (2)如上图所示，连接BC1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1.∵M，K分别为AB，C1D1的中点， ∴BM∥C1K，BM＝C1K. ∴四边形BC1KM为平行四边形．∴MK∥BC1.(8分) 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C， BC1?平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1. ∵MK∥BC1，∴A1B1⊥MK. ∵四边形BB1C1C为正方形，∴BC1⊥B1C.(10分) ∴MK⊥B1C.∵A1B1?平面A1B1C，B1C?平面A1B1C， A1B1∩B1C＝B1，∴MK⊥平面A1B1C. 又∵MK?平面A1MK，∴平面A1B1C⊥平面A1MK.(12分) 【温馨提醒】 (1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理． (2)线线关系是线面关系、面面关系的基础．证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等． (3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范． ?方法与技巧 1．三类论证 (1)证明线线垂直的方法 ①定义：两条直线所成的角为90°； ②平面几何中证明线线垂直的方法； ③线面垂直的性质：a⊥α，b?α?a⊥b； ④线面垂直的性质：a⊥α，b∥α?a⊥b. (3)证明面面垂直的方法 ①利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； ②判定定理：a?α，a⊥β?α⊥β. 2．转化思想：垂直关系的转化 在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决． ?失误与防范 1．在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化． 2．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可． 【解析】 (1)点F，G，H的位置如图所示． (2)平面BEG∥平面ACH.证明如下： 因为ABCD-EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG. 又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH， 于是四边形BCHE为平行四边形．所以BE∥CH. 又CH?平面ACH，BE?平面ACH， 所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH. 又BE∩BG＝B，所以