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2017届一轮复习北师大版离散型随机变量的均值与方差、正态分布课件幻灯片
(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率; (2)两次回球结束后,小明得分之和ξ的分布列与均值. 记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”. 由题意,D=A3B0+A1B0+A0B1+A0B3, 由事件的独立性和互斥性,得 P(D)=P(A3B0+A1B0+A0B1+A0B3) =P(A3B0)+P(A1B0)+P(A0B1)+P(A0B3) 【思维升华】 求随机变量X的均值与方差时,可首先分析X是否服从二项分布,如果X~B(n,p),则用公式E(X)=np;D(X)=np(1-p)求解,可大大减少计算量. 跟踪训练2 (2016·山东济宁模拟)某商场一号电梯从1层出发后可以在2,3,4层停靠.已知该电梯在1层载有4位乘客,假设每位乘客在2,3,4层下电梯是等可能的. (1)求这4位乘客中至少有一位乘客在第2层下电梯的概率; (2)用X表示这4位乘客在第4层下电梯的人数,求X的分布列和数学期望. 题型三 正态分布的应用 【例3】 在某次大型考试中,某班同学的成绩服从正态分布N(80,52),现已知该班同学中成绩在80~85分的有17人.试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人. 【思维点拨】 本题主要考查正态分布及其应用,解题关键是要记住正态总体取值在区间(μ-σ,μ+σ],(μ-2σ,μ+2σ],(μ-3σ,μ+3σ]内的概率值,将所给问题转化到上述区间内解决,同时要注意对称性的运用和数形结合思想的应用. 设该班有x名同学,则x×34.13%=17,解得x≈50. 又μ-2σ=80-10=70,μ+2σ=80+10=90, ∴成绩在(70,90]内的同学占全班同学的95.44%. ∴成绩在(80,90]内的同学占全班同学的47.72%. ∴成绩在90分以上的同学占全班同学的50%-47.72%=2.28%.即有50×2.28%≈1(人),即成绩在90分以上的同学仅有1人. 【思维升华】 解决正态分布问题有三个关键点: (1)对称轴x=μ; (2)标准差σ; (3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值;由μ,σ,分布区间的特征进行转化,使分布区间转化为3σ特殊区间,从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0. 跟踪训练3 在某次数学考试中,考生的成绩ξ服从正态分布,即ξ~N(100,100),已知满分为150分. (1)试求考试成绩ξ位于区间(80,120]内的概率; (2)若这次考试共有2 000名考生参加,试估计这次考试及格(不小于90分)的人数. 【解析】 (1)由ξ~N(100,100)知μ=100,σ=10. ∴P(80ξ≤120)=P(100-20ξ≤100+20)=0.954 4, 即考试成绩位于区间(80,120]内的概率为0.954 4. 【答题模板】 求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤 第一步:确定随机变量的所有可能值. 第二步:求每一个可能值所对应的概率. 第三步:列出离散型随机变量的分布列. 第四步:求均值和方差. 第五步:反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范. 【温馨提醒】 (1)本题重点考查了概率、离散型随机变量的分布列、均值. (2)本题解答中的典型错误是计算不准确以及解答不规范.如第(3)问中,不明确写出ξ的所有可能值,不逐个求概率,这都属于解答不规范. ?方法与技巧 1.均值与方差的性质 (1)E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X)(a,b为常数). (2)若X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p). (3)若X服从二项分布,即X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p). 2.求离散型随机变量均值与方差的基本方法 (1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差,按定义求解. (2)已知随机变量X的均值、方差,求X的线性函数Y=aX+b的均值、方差,可直接用X的均值、方差的性质求解. (3)如果所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等),利用它们的均值、方差公式求解. 3.若X服从正态分布,即X~N(μ,σ2),要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1. ?失误与防范 1.在没有准确判断分布列模型之前不能乱套公式. 2.对于应用问题,必须对实际问题进行具体分析,一般要将问题中的随机变量设出来,再进行分析,求出随机变量的分布列,然后按定义计算出随机变量的均值、方差. 第十二章 概率、随机变量及其分布 高考总复习· 理科数学(BS) 第十二章 概率、随机变量及其分布 高考总复习· 理科数学(BS) 第十二章 概率、随机变量及其分布 高考总复习· 理科数学(BS) 第十二章 概率、随机变量及其分布 高考总复习· 理科数学(
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