3 离散傅里叶变换幻灯片.ppt

(2-26) 周期序列还可表示为余数运算表达式的形式，即 0≤n1≤N-1, m为整数 如果 则有 表示（n模N）,即“n对N取余数”,或称“n对N取模值” 其中 是 的余数。 例：设 是周期为N=9的序列，则有： 利用矩形序列RN(n)，可将x(n)与 的关系表示成 (3-41) 频域的周期序列 可看成是对有限长序列X(k)的周期延拓，而有限长序列X(k)可看成是周期序列 的主值序列，即: (3-43) (3-44) 2. 周期序列 与有限长序列X(k)的关系 (3-42) { { DFS与IDFS的表达式为： 3. 从DFS到DFT 则有限长序列的离散傅里叶变换的定义: 正变换： 反变换： 或简练的表示成 x(n)和X(k)是一个有限长序列的离散傅里叶变换对。称式(3-45)为x(n)的N点离散傅里叶变换(DFT), 称式(3-46)为X(k)的N点离散傅里叶反变换(IDFT)。 (3-45) (3-46) 说明 凡是说到离散傅里叶变换关系之处，有限长序列都是作为周期序列的一个周期来表示的，都隐含有周期性意义。 解： 由DFT的定义式 利用复指数序列的正交特性，再考虑到k的取值区间，可得 例（补充）：已知x(n)=cos(nπ/6)是一个长度N=12的有限长序列， 求它的N点DFT。 图 有限长序列及其DFT 若x(n)是一个有限长序列，长度为N，其z变换 比较Z变换与DFT，我们看到，当 时 即 二. DFT与序列傅里叶变换、z变换的关系（补充） DFT与z变换的关系 表明 是z平面单位圆上幅角为 的点，也即将z平面单位圆N等分后的第k点，故X(k)也就是对X(z)在z平面单位圆上N点等间隔采样值 此外， 由于序列的傅里叶变换X(ejω)即是单位圆上的z变换，可得 DFT与序列傅里叶变换的关系为 上式说明X(k)也可看作序列x(n)的傅里叶变换X(ejω)在区间［0,2π］上的N点等间隔采样,其采样间隔为ωN=2π/N,这就是DFT的物理意义。注意：DFT的变换区间长度N不同,表示对X(ejω)在区间［0,2π］上的采样间隔和采样点数不同，故DFT变换结果也不同。 图 DFT与序列傅里叶变换、z变换的关系 ● ● ● ● ● ● ● ● 3.6 离散傅里叶变换的性质 设序列都是N点有限长序列，用DFT［·］表示N点DFT，且设: DFT［x1(n)］=X1(k)， DFT［x2(n)］=X2(k) 一. 线性 式中，a, b为任意常数。该式可根据DFT定义证明。 二. 序列的圆周移位（※）  xm(n)=x((n+m))NRN(n) （3-50） 圆周移位的过程： 1）将x(n)以N为周期进行周期延拓得到周期序列 ; 一个长度为N的有限长序列x(n)的圆周移位定义为： 2）将 加以移位，得到 3）对移位的周期序列 取主值区间（n=0 到N-1）上的序列值，即x((n+m))NRN(n)。 1. 定义： 图 圆周移位过程示意图 显然一个有限长序列x(n)的圆周移位序列xm(n)仍然是一个长度为N的有限长序列,见上图(a)~(d)。 由图可见,由于是周期序列的移位,故只观察 0≤n≤N-1 这一主值区间时,某一采样从该区间的一端移出时,与其相同值的采样又从该区间的另一端循环移进。因而,可以想象x(n)是排列在一个N等分的圆周上,序列x(n)的圆周移位, 就相当于x(n)在此圆周上旋转,如上图(e)~ (g)所示,因而称为圆周移位。若将x(n)向左圆周移位时，此圆是顺时针旋转; 将x(n)向右圆周移位时，此圆是逆时针旋转。此外，如果围绕圆周观察几圈， 那么看到的就是周期序列 。 设x(n)是长度为N的有限长序列，xm(n)为x(n)圆周移位，即 则圆周移位后的DFT为 证：利用周期序列的移位性质加以证明。 2. 时域圆周移位定理 (教材P112) （据DFS和DFT关系） 对于频域有限长序列X(k)，也可看成是分布在一个N等分的圆周上，所以对于X(k)的圆周移位，利用频域与时域的对偶关系，可以证明以下性质：  则 这就是调制特性。它说明，时域序列的调制等效于频域的圆周移位。 3. 频域圆周移位定理(教材P113) 若 三. 圆周卷积（