3-4复变函数幻灯片.ppt

第四节 高阶导数 二、主要定理 * * 复习、柯西积分公式 定理3.9 复连通区域上的情形 定理3.10 定理3.9中若C为圆周 定理3.11（平均值公式） 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值. 推论2 定理3.12（最大模原理） 一、问题的提出 二、主要定理 三、典型例题 四、小结 一、问题的提出 (1) 解析函数是否有高阶导数? (2) 若有高阶导数, 其求法是否与实变函数相同? 回答: (1) 解析函数有各高阶导数. (2) 高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示, 这与实变函数完全不同. 柯西积分公式 对柯西积分公式形式上关于z求导，右边求导在积分号下进行 定理 注：条件改为 根据导数的定义, 从柯西积分公式得 证 再利用以上方法求极限 至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数. 依次类推, 利用数学归纳法可证 [证毕] 高阶导数公式的作用: 不在于通过积分来求导, 而在于通过求导来求积分. 解析函数的导数仍是解析函数，这是与实变可导函数的本质区别 三、典型例题 例1 解 根据复合闭路定理 例2 解 解 例3 解 由柯西－古萨基本定理得 由柯西积分公式得 根据公式 课堂练习 答案 代数学基本定理 定理3.14（柯西不等式） 定理3.15（刘维尔定理） 证明思路 由柯西不等式 定理3.15（代数学基本定理） 至少有一个零点. 证明： 反证法 刘维尔定理 P53：3.1(4) ,3.2(2，5) 3.4 ； 关于复变函数积分问题 1、积分依据 柯西积分定理 闭路变形原理 复合闭路定理 2、积分工具 牛顿-莱布尼兹公式 柯西积分公式 高阶导数公式 3、有用的结论 4、计算复积分的方法步骤 Step 1 明确积分曲线是闭的，还是非闭的 非闭的： 积分曲线在被积函数的某解析单连通区域内，积分与路径无关，用牛-莱公式。 积分曲线不在被积函数的某解析单连通区域内，或被积函数处处不解析， 考察被积函数的解析区域 Step 2 积分曲线闭的： 被积函数在曲线上与曲线内解析，柯西积分定理，积分为0. 被积函数在曲线内有奇点，一个时，柯西积分公式或高阶导数公式； 多个时，一般方法是先用复合闭路定理，然后再用柯西积分公式或高阶导数公式。 考察被积函数的解析性 Step 2 或者，将被积函数化为部分分式之和，总之，使得积分曲线内至多含一个奇点。 (Morera定理) 证 依题意可知 因为解析函数的导数仍为解析函数,