4-1 高斯消元法幻灯片.ppt

上一页 下一页 返 回 * 第四章 线性方程组 第一节 高斯消元法 第二节　齐次线性方程组 第三节 非齐次线性方程组 第四节* 投入产出数学模型 第五节 本章概要与典型例题分析 * 第一节 高斯消元法 1 高斯消元法 2 增广矩阵的初等行变换 3 小结 * 在第一章中，我们学习了利用克莱姆法则来求解线性方程组.使用克莱姆必须满足两个条件： （1）未知量的个数与方程的个数要相等; （2）系数行列式不为零. 下面来讨论一般的线性方程组的求解问题. （4.1） * 方程组（4.1）的矩阵形式为 称为系数矩阵 其中 * 矩阵 称为线性方程组（4.1）的增广矩阵. 消元法的基本思想是通过同解变换把方程组 化成容易求解的方程组. 一、高斯消元法 * 例1 解线性方程组 ① 解 方程组 中第二个与第三个方程分别减去 第一个方程的 倍与 倍，得 ① ② * 这种解法就称为高斯消元法， 它分为消元过程和回代过程两个部分. 再将方程组 中第三个方程加上第二个方程的 倍，得 ② 由 的 值回代 * 上面的求解过程也可以用方程组 的增广 矩阵的初等行变换来表示： ① 二、增广矩阵的初等行变换 * 由最后一个矩阵得到方程组的解为： 由此可以看出，解线性方程组时，只需写出方程组的增广矩阵，再对增广矩阵施行初等行变换，化成行最简形阶梯矩阵即可. * 一般地，假设线性方程组（4.1）的增广矩阵 经初等行变换，化成如下的行最简形 阶梯矩阵： （4.2） ~ * 相应的线性方程组为 （4.3） 显然，方程组（4.3）与（4.1）为同解方程组. * 由方程组（4.3）可直接得到： 1.如果方程组（4.3）中 ，则方程 组无解. 2.如果方程组（4.3）中 ，又有以下 两种情况： （1）若 ，则方程组有唯一解 （2）若 ，则将 作为 自由未知量，方程组（4.3）变为 * 对 的每一组值， 的值是唯一确定的，因此方程组有无穷多个解. （4.4） * 注意：当方程组（4.1）为齐次线性方程组时， 即 ，则 3.若 ，齐次线性方程组只有零解. 4.若 ，齐次线性方程组有无穷多个非零解. * 线性方程组的解法： （1）应用克莱姆法则 （2）利用初等变换 　　特点：只适用于系数行列式不等于零的情形， 计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可 用来证明很多命题． 　　特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有 无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数 表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效 的计算方法． 三、小结 上一页 下一页 返 回