4随机变量及其分布幻灯片.ppt

* * 指数分布常用来作为各种“寿命”分布的近似。 如：随机服务系统中的服务时间。 产品的寿命 产品在t时间(t0)失效的概率为 而产品的可靠度为 ＝1－F(t) * (三)正态分布 这是最重要、最常见的分布。 许多微小的，独立的随机因素作用的总后果，一般 可以认为服从正态分布。 例如人的身高、零件长度，考试成绩等。 特点为“中间大，两头小”。 * * 记作 * 对于任给的x值， 样表如下： -1 1 0 x * * 标准正态分布的分布函数为 其函数值也要通过标准正态分布的分布函数表 查出。样表如下： * * 对小于零的x，由下图 可以间接查表求出 -x x t * =0.025 =0.95 =0.99379-(1-0.94520) =0.93899 * * 一般正态分布的概率密度的图形为 其分布函数 u x 0 * =0 =1 * * * x0时 ＝0 0≤x2时 x2时 ＝1 * P(1.5ξ2.5)=F(2.5)-F(1.5) =0.0625 或者 ＝0.0625 * x0时 ＝0 x≥0时 * 故分布函数为 =1-(2+1)e-2-0 =1-3e-2 实际上，对任意一点x P(ξ=x)=0 * §4 随机变量函数的分布 也有多元函数η＝f(ξ1,…,ξn) 等。 (一)离散型随机变量函数的分布 定义1 设f(x)是定义在随机变量ξ的一切可能值x集合上 的函数。如果对于ξ的每一可能取值x，有另一个随机 变量η的相应取值y=f(x)。称η为ξ的函数，记作 η=f(ξ)。 * ＝0.2 ＝0.4 ＝0.1 ＝0.3 故η的分布表为 * 解:P(η=0)=P (ξ=0) =0.2 P(η=1)=P (ξ=-1)+P (ξ=1) =0.2+0.1 =0.3 P(η=4)=P (ξ=-2)+P (ξ=2) =0.1+0.4 =0.5 故η的分布为 * η的概率分布表为 * ξ η 解：P(ξ+η=1)=P(ξ=0, η=1)+P(ξ=1,η=0)=0.4 而P(ξη=1)=P(ξ=1,η=1)=0.2 * 解：ξ-η的取值可以为1，2，3，4 P(ξ-η=2)=P(ξ=4,η=2)+P(ξ=5,η=3) =P(ξ=4)P(η=2)+P(ξ=5)P(η=3) =0.38 类似可算出其它概率。 ξ-η的概率分布表为 * (二)连续型随机变量函数的分布 ＝P(4ξ-1≤x) 两边求导 * 解：当x0时 =0 两边对x求导。 * ＝0 ＝1 0x1时 * * * * 第二章 随机变量及其分布 §1 随机变量的概念 * 随机事件可以采取数量的标识。如： 抽样检查产品时废品的个数。 掷骰子出现的点数。 对没有数量标识的事件，可以人为加上数量标志。如 产品为优质品记为1，次品记为2，废品记为3。 天气下雨记为1，不下雨记为0。 * 例如： (1)射击击中目标记为1分，未中目标记0分。用ξ表示 射击的得分，它是随机变量，可取0和1两个值。 (2)抛一枚硬币， ξ表示正面出现的次数，它是随机变 量，可取0和1两个值。 (3)某段时间内候车室旅客数目记为ξ ，它可取0及一切 不大于最大容量M的自然数。 (4)一块土地上农作物的产量ξ是随机变量，它可以取区 间[0，T]的一切值。 (5)沿数轴运动的质点，它的位置ξ是随机变量，可以取 任何实数，即ξ (-∞,+∞) * 随机变量按取值情况分为两类： (1)离散型随机变量 只可能取有限个或无限可列个值。 (2)非离散型随机变量 可以在整个数轴上取值，或至少有一部分值取某实 数区间的全部值。 非离散型随机变量中最常用的是连续型随机变量。 即取值于一个连续区间全部数值的随机变量。 以后，只研究离散型与连续型随机变量。 * 定义2 若ξ是一个随机变量，对任何实数x，令 F(x)=P(ξ ≤x) 称为F(x)是随机变量ξ的分布函数。 对任意实数ab,有 P(a ξ ≤b)=P(ξ ≤b)-P(ξ ≤a) =F(b)-F(a) 分布函数完整地描述了随机变量的变化情况。 注意 P(a≤ ξ ≤b)=P(ξ =a)+P(a ξ ≤b) =P(ξ =a)+F(b)-F(a) P(a ξ b)=P(a ξ ≤b)-P(ξ =b) =F(b)-F(a)-P(ξ =b) * 分布函数具有如下的性质： F(x)是概率，取值在0与1之间 (2)F(x)是x的不减函数。 ξ ≤x所含基本事件个数不会随x增大而减少 (4)F(x)至多有可列个间断点， 在其间断点上右连续。 * §2 随机变量的概率分布 (一)离散型随机变量的概率分布 定义1 如果随机变量ξ只取有限个或可列个可能值， 而且以确定的概率取这些不同的值，则称ξ为离散 型随机变量。 一般列成概率分布表： 也可写成 P(ξ =xk)=Pk (k=1,2,…) 称之为