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5-4 频率域稳定判据 5-4 频率域稳定判据 说明：S 平面上的点 s 在 F(s) 平面上的象为 F(s) ， (2) 复变函数F(s)的选取 (3) S平面闭合曲线Γ的选取 (4) 绘制开环传递函数G(s)的闭合曲线ΓG 图5-32(a) v = 0： 图5-32(b) v = 1： 图5-32(c) v = 2： 图5-32(d) v = 0： 图5-32(e) v = 4： 2. Nyquist稳定判据 解：K=10时， 当K=K1时， 例5-9 已知延迟系统开环传递函数为 3. 对数频率稳定判据（略，针对对数频率曲线的 解：绘制概略幅相曲线 例 k = 2 例 * 3. △对数频率稳定判据 1. Nyquist 稳定判据的数学基础 (1) 幅角原理 (2) 复变函数F(s)的选取 (3) S平面闭合曲线Γ的选取 (4) 绘制开环传递函数G(s)的闭合曲线ΓG (5) 闭合曲线ΓF包围原点的圈数R计算 2. ☆Nyquist稳定判据 1. Nyquist 稳定判据的数学基础 设F(s)是复变量 s 的单值有理函数，Γ是S平 (1) 幅角原理 曲线)在F(s)平面上的象轨迹是一条闭合曲线ΓF， 面上一条不经过 F(s) 的极点和零点的简单闭合曲 R = P - Z， 线。 曲线ΓF包围F(s)平面原点的圈数为 式中 P是曲线Γ包围的F(s)极点个数； Γ包围的F(s)零点个数； 包围原点R次， R次， Z是曲线 R0表示曲线ΓF逆时针 R0表示曲线ΓF顺时针包围原点 R=0表示曲线ΓF不包围原点； S平面上的点s 沿曲线Γ顺时针运动一周，(Γ 否则值为0。 现在，关注相角变化情况， 的位置不同而不同； 因逆时针一周为 ，即 R = P – Z。 s 沿曲线Γ顺时针运动一周，△∠( s - x )的值因 x 若x被曲线Γ包围值为 零点必须都在 S 平面的左半部； F(s) 的极点也就 要求闭环系统稳定，则闭环极点，即 F(s) 的 已知开环传递函数G(s)H(s)为 则征多项式为 F(s) = 1+G(s)H(s)，另一种形式为 是开环极点未被限制，影响闭环系统稳定性。 k 为在原点处的极点个数； 因为F(s)的零点都在 点，同样以无穷小半径的右半圆弧绕过极点。 在 S 平面上选取的闭合曲线Γ 为：包围整个 S 平面右半部的闭合曲线Γ； 极点，闭合曲线以无穷小半径的右半圆弧绕过原 点，对应的象是半径无穷大的圆弧，弧度为 若在原点处有开环 的闭合曲线Γ只包围F(s) 部的P个开环极点。 S平面的左半部，所选取 在S平面右半部的极点 ， 也就是F(s)在 S 平面右半 jω σ [S ] 0 若在虚轴上有共轭极 只是F(s)平面原点等价于G(s)平面上的(-1, j0 )点。 (即幅相曲线，Nyquist曲线。) 轴对称，则闭合曲线ΓG在平面上也关于实轴对 由于所选取的闭合曲线Γ在S平面上关于实 通常，只需绘制 ω：0+→∞ 的半条ΓG 曲线。 (5) 闭合曲线ΓF包围原点的圈数计算 考虑到F(s)=1+G(s)，在G(s)平面上的闭合曲 线ΓG与F(s)平面的闭合曲线ΓF形状完全相同。 点的次数。或等于半条ΓG包围 (-1, j0 )点的次数 这样，ΓF包围原点的次数R等于ΓG包围(-1, j0 ) 乘2。 P =0；R =-2；Z =2。闭环系统不稳定。 0+ 0- -∞ ∞ K -1 0 N+：正穿越，相角增大；(-∞,-1) N-：负穿越，相角减小； R = 2N = 2 ( N+-N- )； N+ N- P =0；R =0；Z =0。 -1 0 ∞ 0+ 0- -∞ 闭环系统稳定。 P =0；R =0；Z =0。 -1 0 闭环系统稳定。 0+ ∞ R = 2 ( N+-N- ) = 2(1-1) = 0； 0+ 0- -∞ ∞ K -1 0 R = 2 ( N+-N- )=2(0.5-1)=-1； R = 2 ( N+-N- ) = 2( 0 -1.5 ) = -3； -1 0 ∞ 0+ 0- -∞ 反馈控制系统稳定的充分必要条件是：闭合 系统在 S 平面右半部的开环极点个数 P。 曲线ΓG逆时针包围临界点 (-1, j 0 ) 的次数 R 等于 (若曲线ΓG 穿过(-1, j 0)点，系统可能是临界 简记： R = P 。 稳定的，工程上认为系统是不稳定的。) 例5-8 已知负反馈系统开 v=1 )如图5-33所示， 试确定闭环系统稳定时 K值的范围。 环幅相曲线( K=10, P=0, jω σ [S ] 0 -2 -0.5 -1 -1.5 图5-33 开环幅相曲线与负实轴的交点依次为， 系统稳定。 K值变化只改变图形大小，不改变图形形状。 该系