6-2 可分离变量的微分方程幻灯片.ppt

可分离变量的微分方程 上页 下页 铃 结束 返回 首页 设积分后得 G(y)?F(x)?C —— 隐式(通)解? 上页 下页 铃 结束 返回 首页 如果一个一阶微分方程能写成 g(y)dy ? f(x)dx 的形式? 那么原方程就称为可分离变量的微分方程? 可分离变量的微分方程的解法 (2)两端积分? 则求出显式解 y?y(x) 或 x?x(y). (3)求显式解? 如果可由方程 G(y)?F(x)?C 解出 y?y(x) 或 x?x(y), (1)分离变量? 将方程写成 g(y)dy ? f(x)dx 的形式? 分离变量得 解 两边积分得 即 ln|y|?x2?C1? 根据题意? 得微分方程 解 例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比? 已知t?0时铀的含量为M0? 求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t变化的规律? 初始条件为M|t?0?M0? 将方程分离变量? 得 两边积分? 得 由初始条件? 得M0?Ce0?C? 所以铀含量M(t)随时间t变化的规律M?M0e ? ?t ? 即 lnM???t?lnC? 也即 M?Ce? ?t? 提示? 降落伞所受外力为F?mg?kv(k为比例系数)? 牛顿第二运动定律F?ma? 设降落伞下落速度为v(t)? 解 例3 设降落伞从跳伞塔下落后? 所受空气阻力与速度成正比? 并设降落伞离开跳伞塔时速度为零? 求降落伞下落速度与时间的函数关系? 根据题意得初值问题 将方程分离变量得 两边积分得 将初始条件v|t?0?0代入上式得 于是降落伞下落速度与时间的函数关系为 例3 设降落伞从跳伞塔下落后? 所受空气阻力与速度成正比? 并设降落伞离开跳伞塔时速度为零? 求降落伞下落速度与时间的函数关系? 设降落伞下落速度为v(t)? 解 根据题意得初值问题 例4 当一次谋杀发生后, 尸体的温度从原来的 370C 按照 牛顿冷却定律开始下降. 假设两小时后尸体温度变为 350C, 并且假定周围空气的温度保持 200C 不变, 试求尸体温度 H 随时间 t 的变化规律. 又如果尸体被发现时的温度是 300C, 时间 是下午 4 点整, 那么谋杀是何时发生的？ 牛顿冷却定律 一个物体的温度变化速度与该物体的温度和其所在介质 的温度的差值成正比. 解 由题设得微分方程 分离变量得 两边积分得 例4 当一次谋杀发生后, 尸体的温度从原来的 370C 按照 牛顿冷却定律开始下降. 假设两小时后尸体温度变为 350C, 并且假定周围空气的温度保持 200C 不变, 试求尸体温度 H 随时间 t 的变化规律. 又如果尸体被发现时的温度是 300C, 时间 是下午 4 点整, 那么谋杀是何时发生的？ 解 由 t=0, H=37, 得 C=17, 求得 由 t=2, H=35, 得 当 H=30 时, 得 谋杀是在上午7点36分发生的. 由题设得微分方程 分离变量得