7-2 可分离变量的微分方程幻灯片.ppt

可分离变量的微分方程 第二节 第七章 一般的一阶微分方程 一、最简单也是最基本的一阶微分方程 其解可表示为 推广： 所以如果微分方程的一边可凑成某个函数对x的导数，而另一边只是x的函数，则可通过求原函数得解。 解： 原式可化为 能否凑成一个导数? 二、可分离变量的微分方程 然后左边凑成一个导数 先把方程化为 基本思想： 先分离变量 然后两边加积分号得 形式上也可如下做： 此过程的合理性可从积分的角度去理解: 称为可分离变量的微分方程. 然后两边求和取极限， 解 方法1： （反导数的角度） 方法2： 先分离变量 两边取积分得 （积分的角度） 关于人口变化的第一个数学模型： 解： 依题意得, 先分离变量 两边取积分得 结论：在该假设下，人口总数将会按照指数规律增长。 关于人口变化的第二个数学模型： 与实际数据对比，发现指数模型对一个小的时间段或人口数量不是很大的情形是近似成立的.（如美国从1790年至1860年的人口状况） 假设 N表示环境能容纳的最大人口数。 但由于环境资源的限制，人口的拥挤将使增长速度降下来. （从1860年至1940年） 分离变量得 化简得 此曲线称为逻辑斯蒂（S型）曲线. 解: 由题设条件可得 衰变规律 铀的衰变速度 解: 例5 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中含有 的 , 为了降低车间内空气中 的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含 的 的新鲜空气, 同时以同样的风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分钟后, 车间内 的百分比降低到多少? 设鼓风机开动后 时刻 的含量为 在 内, 的通入量 的排出量 * 的通入量 的排出量 的改变量 6分钟后, 车间内 的百分比降低到 要点: 可分离变量的微分方程 第二节 基本的一阶微分方程: 所以如果微分方程的一边可凑成某个函数对x的导数，而另一边只是x的函数，则可通过求原函数得解. 先分离变量 然后两边取积分得 可分离变量的微分方程: * * *