7.4任意项级数及绝对收敛幻灯片.ppt

用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性: 例3. 证明下列级数绝对收敛 : 绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质. 内容小结 3. 任意项级数审敛法 思考与练习 备用题 2. * 一、交错级数及其审敛法 定义: 正、负项相间的级数称为交错级数. 证明 满足收敛的两个条件, 定理证毕. 例1 判别交错级数 的收敛性。 解： 原级数满足条件 它是收敛的。 收敛 收敛 收敛 上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ? 发散 收敛 收敛 二、绝对收敛与条件收敛 定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. 证明 解 故由定理知原级数绝对收敛. 证: (1) 而 收敛 , 收敛 因此 绝对收敛 . (2) 令 因此 收敛, 绝对收敛. 其和分别为 *定理8. 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和. *定理9. ( 绝对收敛级数的乘法 ) 则对所有乘积 按任意顺序排列得到的级数 也绝对收敛, 设级数 与 都绝对收敛, 其和为 1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数审敛法 必要条件 不满足 发 散 满足 比值审敛法 根值审敛法 收 敛 发 散 不定 比较审敛法 用它法判别 积分判别法 部分和极限 为收敛级数 Leibniz判别法: 则交错级数 收敛 概念: 绝对收敛 条件收敛 设正项级数 收敛, 能否推出 收敛 ? 提示: 由比较判敛法可知 收敛 . 注意: 反之不成立. 例如, 收敛 , 发散 . 1. 判别级数的敛散性: 解: (1) 发散 , 故原级数发散 . 不是 p–级数 (2) 发散 , 故原级数发散 . 则级数 (A) 发散 ; (B) 绝对收敛; (C) 条件收敛 ; (D) 收敛性根据条件不能确定. 分析: ∴ (B) 错 ; 又 C *