D52多元函数的极限连续性幻灯片.ppt

第二节 例： 例： 例3. 讨论函数 思考与练习 分析: 2. 多元函数的极限 2. 证明 内容小结 1. 多元函数概念 n 元函数 常用 二元函数 (图形一般为空间曲面) 三元函数 有 3. 多元函数的连续性 1) 函数 2) 闭域上的多元连续函数的性质: 有界定理 ; 最值定理 ; 介值定理 3) 一切多元初等函数在定义区域内连续 P61 题 2; 4; 5 (3), (5) ( 画图 ) ; 8 P129 题 3; *4 思考与练习 * 目录 上页 下页 返回 结束 第五章 一、多元函数的概念 二、多元函数的极限与连续性 三、多元连续函数的性质 多元函数的基本概念 一、多元函数的概念 引例: ? 圆柱体的体积 ? 定量理想气体的压强 ? 三角形面积的海伦公式 定义1. 设非空点集 点集 D 称为函数的定义域 ; 数集 称为函数的值域 . 特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数 当 n = 3 时, 有三元函数 映射 称为定义 在 D 上的 n 元函数 , 记作 例如, 二元函数 定义域为 圆域 说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) ? D 图形为中心在原点的上半球面. 的图形一般为空间曲面 ? . 三元函数 定义域为 图形为 空间中的超曲面. 单位闭球 设 求 解法1 令 设 求 解法2 令 即 等值线 ： 另一种表示函数 z=f (x, y)的方法是利用 xOy面上的曲线族。 当点(x,y)在其中每一 条曲线 f(x,y)都取相同的值 所谓的等值线 f (x, y）=C， 其中C为常数。它表示 上变化时. 函数 容易看出，等值线f(x,y)=C实际上就是曲面z=f(x,y)与平面z=C 的交线在xOy平面上的投影。因此,将等值线f(x,y)=C族中各曲线升到相应得高度z=C处就不难想象出曲面z=f(x,y)的图像 例: 画出函数 的等值线， 并由此等值线 解: 显然等值线为 可知， 此曲面仅位于xOy平面的上方， 与xOy平面 讨论此曲面的形状。 容易看出，当C0时，等值线 是以原点为中心的同心圆 ，C越 小半径越小; C=0时为原点O(0,0); C0时无轨迹。由此 切于原点， 在xOy平面上方与水平平面z=C的截面 都是圆， 且越往上开口半径越大 定义 设非空点集 是自变量 ; 是因变量， 显然，一个n 元向量值函数y=f(x)对应于m 个n 元数量值函数 映射 称为定义 在 D 上的 n 元向量值函数 , 也可记作 为运算方便，有时把 其中 列向量,在这种情况下n元向量值函数也可记作 与 中的向量写成 例: 我们知道, 空间中曲线的参数方程为 的一个映射，即一元 其中 到 它可以看做是从 向量函数 二、多元函数的极限和连续性 定义2. 3 设 n 元函数 点 , 则称 A 为函数 (也称为 n 重极限) 当 n =2 时, 记 二元函数的极限可写作： P0 是 D 的聚 若存在常数 A , 对一 记作 都有 对任意正数 ? , 总存在正数? , 切 说明： （1）定义中 的方式是任意的； （2）n 元函数的极限也叫n 重极限 （3）n元函数的极限运算法则与一元函数类似． 例1. 设 求证: 证: 故 总有 要证 例2. 设 求证： 证： 故 总有 要证 如图 x x0 x x 趋于不同值或有的极限不存在， 则可以断定函数极限 注：当点 以不同方式趋于 不存在 . 函数 说明： x o X0 X D 对二元函数 f (X), 如图 有 ? 点X以任何方式趋近于X0时, f (X)的极限都存在且为A. D z = f (x, y) X f (X) M X0 A y z x o 解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 在点 (0, 0) 的极限. 则有 k 值不同极限不同 ! 在 (0,0) 点极限不存在 . x o y 如图 讨论二重极限 解法1 解法2 令 解法3 令 时, 下列算法是否正确? 解法1 解法2 令 此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况, 此法排除了沿曲线趋于原点的情况. 此时极限为 1 . 第二步 未考虑分母变化的所有情况, 解法3 令 此法忽略了? 的任意性, 极限不存在 ! 由以上分析可见, 三种解法都不对, 因为都不能保证 自变量在定义域内以任意方式趋于原点 . 特别要注意, 在某些情况下可以利用极坐标求极限, 但要注意在定义域内 r , ? 的变化应该是任意的. 同时还可看到, 本题极限实际上不存在 . 例4. 求 解: 因 而 此函数定义域 不包括 x , y