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第二章 时域离散信号和系统的频域分析 2.1 引言 2.2 时域离散信号的傅里叶变换 2.2.1 时域离散信号的傅里叶变换的定义 定义 为时域离散信号x(n)的傅里叶变换，简称FT(Fourier Transform)。上式成立的条件是序列绝对可和，或者 说序列的能量有限，即满足下面的公式： 对于不满足上式的信号，可以引入奇异函数，使之能够 用傅里叶变换表示出来。 离散信号FT和模拟信号FT的比较： 离散信号FT 模拟信号FT 可以发现二者的实质是一样的，都是完成时间域 频域 的转换，不同处： 时间变量：n取整数，求和运算； t取连续变量，积分运算。 频域变量：ω是数字频率的连续变量，以2π为周期； Ω是模拟频率的连续变量，无周期性。 2.2.2 周期信号的离散傅里叶级数 设 是以N为周期的周期序列，具有周期性，能 够展成傅里叶级数，即： 式中，ak是离散傅里叶级数的系数。 为求系数ak，将上式两边乘以 ，并对n在一 个周期N中求和，得到： 将上式右边的两个求和号交换位置，得到： 式中 因此得到 上式中,k和n均取整数，当k变化时， 是周期为N 的周期函数，所以ak是以N为周期的周期序列，即 ak=ak+ln 令 将式(2.2.7)代入上式，得到 这里 是以N为周期的周期序列。一般简称 为 的离散傅里叶级数系数，用DFS(Discrete Frourier Series)表示，即 。 由式(2.2.5)和式(2.2.9)，我们能够得到 将式(2.2.7)和式(2.2.10)写在一起，成为离散傅里叶 级数对。 这里 和 均是周期为N的序列。 2.2.3 周期信号的傅里叶变换 复指数序列的傅里叶变换表达式 在模拟系统中， 的傅里叶变换是在 处 的一个冲激，强度为2π，即 对于时域离散系统中的复指数序列 ，仍假设它的 傅里叶变换是在 处的一个冲激，强度为2π，考 虑到时域离散信号傅里叶变换的周期性，因此 的 傅里叶变换应写为： 一般周期序列 的傅里叶变换 假设 的周期为N，将它用傅里叶级数来表示，即 上式的求和号中的每一项都是复指数序列，其中第K项 即为第K次谐波 的傅里叶变换根据 其周期性能够表示为： 周期序列 由N次谐波组成，因此它的傅里叶变换可 以表示成 式中，k=0,1,2,…,N-1, r=-3,-2,-1,0,1,2,… 以N为周期，而r变化时，δ函数变化2πr，因此 如果让k在(-∞,∞)变化，上式可以简化为 上式就是一般周期序列 的傅里叶变换表达式。 例2.1： 令 ， 为有理数，求其傅里叶变 换。 解: 将 用欧拉公式展开为 由 得余弦序列的傅里叶变换为 上式表明，余弦信号的傅里叶变换是在 处的冲激函 数，强度为?，同时以2?为周期进行周期性延拓，如下图所 示。 对于正弦序列 ， 为有理数，它的傅里叶变 换为 2.2.4 时域离散信号傅里叶变换的性质 时域离散信号傅里叶变换有很多重要的性质，其中一些 性质和模拟信号的傅里叶变换性质类似，参考教材中表 P32 2.2.2。 本小节重点介绍： 傅里叶变换的周期性 频域卷积定理 傅里叶变换的对称性 傅里叶变换的周期性： 频域卷积定理： 假设 ， ， 则 交换积分的求和次序，我们同样能够得到 该定理表明在时域两序列相乘，转换到频域服从卷积 关系。 傅里叶变换的对称性： 一般不做特殊说明，序列x(n)就是复序列。用下标r表 示它的实部，用下标i表示它的虚部： 复序列中有共轭对称序列和反共轭对称序列，分别用下 标e和o表示 共轭对称序列满足 复反共轭对称序列满足 一般序列傅里叶变换的对称性质 一般序列可以表示为 其实部 的傅里叶变换可以用下式来表示 将上式右面的ω加负号，在将右边取共轭，右边表达式 不变，这说明实序列的傅里叶变换具有共轭对称性质， 可以用 表示。 很容易证明，将j乘以实数序列 的傅里叶变换具有 共轭反对称性质，用 表示。 这样 式中 这样我们能够得到结论： 一般序列的傅里叶变换分成共轭对称分量和共轭反对称 分量两部分，其中共轭对称分量对应序列的实部，而共 轭反对称分量对应这序列的虚部（包括j