二维形式的柯西不等式课件幻灯片.pptx

二维形式的柯西不等式 巴楚二中 高三备课组 杨洁 1.认识二维形式的柯西不等式． 2.理解二维形式的柯西不等式的几何意义． 3.会用二维形式的柯西不等式证明一些简单问题，求一些特定函数的最值. 1.二维柯西不等式的应用．(重点) 2.常与不等式的性质、最值问题等综合考查．(难点) 3.等式中“＝”号成立的条件．(易错点) 4.牢记二维柯西不等式的结构特点、注意其变形．(易混点) 目标 若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 当且仅当ad=bc时,等号成立. 定理1（二维形式的柯西不等式）: 你能证明吗？ 向量形式： 定理2: （柯西不等式的向量形式） 定理３（二维形式的三角不等式） 代数法：先平方，用综合法证明. 根据两点间距离公式以及三角形的边长关系: 观察 1．二维形式的柯西不等式可用________表示．(　　) A．a2＋b2≥2ab(a，b∈R) B．(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ab＋cd)2(a，b，c，d∈R) C．(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R) D．(a2＋b2)(c2＋d2)≤(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R) 答案：　C 典例剖析： 知识点一 利用柯西不等式证明不等式 变式训练： 知识点二 利用柯西不等式求函数的最值 【反思感悟】解题的关键是对函数解析式进行变形，使形式上适合应用柯西不等式，还要注意求出使函数取得最值时的自变量的值. 4．设x，y∈R，且2x＋3y＝13，则x2＋y2的最小值为______. 【解析】根据二维形式的柯西不等式可得： (2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)，又因为2x＋3y＝13， 所以x2＋y2≥13. 答案：13 变式训练： 5.设a=(-2,2),｜b｜=6，则a·b的最小值是________，此时 b=______. 【解析】因为｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜, 所以 当且仅当存在实数k,使a=kb时等号成立， 所以 所以a·b的最小值为 此时 答案： 二维形式的柯西不等式 (ac＋bd)2 ad＝bc |α|·|β| β＝0 存在实数k， 使α＝kβ P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， O(0,0)三点共线，且P1，P2在原点两旁 课堂小结 变形 补充例题: 变式引申: 补充练习 A B 3 练习： 作业： 3.若2 x + 3 y = 1, 求4 x 2 + 9 y2的最小值,并求最小值点. 对于许多不等式问题，用柯西不等式解往往是简明的，正确理解柯西不等式，掌握它的结构特点，就能更灵活地应用它. 谢谢观看！