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§2.3 DFT的Hilbert变换对 由于周期性，必有： 或： 如当周期N=8时，周期性因果序列 及相应的 如下图所示：由图示的 可画出： ；由n=0时为轴翻转1800。由(21)第二式可得 ， 由(21)第三式可得 。 现定义N为偶数时的周期序列的因果性： 若 则 为“因果性周期序列” §2.3 DFT的Hilbert变换对 0 1 N/2 N n (a) -N/2 -N 0 1 N/2 N n (b) -N/2 -N 0 1 N/2 N n (c) -N/2 -N 0 1 N/2 N n (d) -N/2 -N §2.3 DFT的Hilbert变换对 由图可得： (22a) 可见，给出 ，可求出 (22b) §2.3 DFT的Hilbert变换对 若定义： (22c) 则(22a)可表示为： (22b)可表示为： (22d) (22e) 从 可求 ，从 及 ， 可求 2.3 DFT的Hilbert变换对 2.3.2 DFT的Hilbert变换对 从(22)d： 本节是从上节周期性因果序列的条件可导出： 称周期性卷积 (23) 而 §2.3 DFT的Hilbert变换对 2.3 DFT的Hilbert变换对 2.3 DFT的Hilbert变换对 ，将其右移m位后代入（23）式 所以（23）式可写为： K为奇、偶时的项 K=0时的项 即， 2.3 DFT的Hilbert变换对 取主值后： 24(a) 由(22)e出发，类似地可导得由虚部求实部的关系式： 24(b) 所以 2.4 离散时域信号的Hilbert变换器及其应用 2.4.1从HCT( Hilbert Convolve Transform) DHT (1)连续时间信号的Hilbert Transform (HCT) 连续信号x(t)，通过一个 的系统 则输出 称 （25） 为 为的Hilbert变换，即HCT 2.4 离散时域信号的Hilbert变换器及其应用 对（25）二边作付氏变换： (26) 其中： 由信号与系统课程可知： 代入上式： (27) 2.4 离散时域信号的Hilbert变换器及其应用 定义：由 及其Hilbert 所组成的 称为 的解析信号（analytic signal) 付氏变换后其频域： (28) (29)a (29)b 2.4 离散时域信号的Hilbert变换器及其应用 (2)离散时间信号的Hilbert Transform (DHT) 把上述的连续的信号与系统公式转为离散域，(27)可写为： (30) 是一个振幅特性为1（全通）的90度移相器，也称为离散Hilbert变换器，其脉冲响应h(n): (31)b (31)a 2.4 离散时域信号的Hilbert变换器及其应用 离散后，(29)a式为： (32)a (29)b为 (32)b (26)式到数字域为： 所以： (33) 现将(33)代入到(32)a，且由(30)式可得 (34) 所以不论由 或 均可得到 2.4离散时域信号的Hilbert变换器及其应用 2.4.2 解析信号实、虚部付氏变换间的Hilbert变换对 解析信号(28)式离散后： (35) 其付氏变换由(32)a表示， 、 分别是z(n)的 实、虚部的付氏变换，刚才是已知 或已知 可求 ，现给出 与 间互求关系式 在 ，由(32)a， 在 ，由(32)b和(34)知， 2.4离散时域信号的Hilbert变换器及其应用 归纳为： 移项后： (36) (37) (36)、(37)即解析信号z(n)的虚部变换 与实部变换 间的DHT对 2.4离散时域信号的Hilbert变换器及其应用 利用(30)式还可将（37）、（36）分别表示为： (38) (39) 于是，反变换后得： (40) (41) 2.4离散时域信号的Hilbert变换器及其应用 例题：已知 ，求其Hilbert变换 ，且构造一满足解析信号条件的复序列z(n)？ 解：题意如右图所示： 由(40): 所以 2.4离散时域信号的Hilbert变换器及其应用 2.4.3 带通解析信号和窄带调制取样及应用 带通解析信号及调制的粗略表示 若x(n)、z(n)分别为低通实信号和低通解析信号，它们的频谱实部分别如图(a)和(b)所示。其中Z(ejω)左半区为0，右半