傅里叶级数的快速算法详解幻灯片.ppt

第二章 离散傅里叶变换及其快速算法 §2.1 离散傅里叶变换（DFT） 则DFS变换对可写为 §2.1.2 离散傅里叶变换（DFT） 频域上的主值区间与主值序列： DFT的矩阵方程表示 DFT特性： 循环移位 循环移位 循环卷积过程: 有限长序列的线性卷积： 循环卷积： 比较线性卷积与循环卷积 2.2 利用DFT做连续信号的频谱分析 (4) DFT的分辨率 填补零值可以改变对DTFT的采样密度，人们常常有一种误解，认为补零可以提高DFT的频率分辨率。事实上我们通常规定DFT的频率分辨率为 ，这里的N是指信号x(n)的有效长度，而不是补零的长度。不同长度的x(n)其DTFT的结果是不同的；而相同长度的x(n)尽管补零的长度不同其DTFT的结果应是相同的，他们的DFT只是反映了对相同的DTFT采用了不同的采样密度。 参数选择的一般原则： 若已知信号的最高频率 ，为防止混叠，选定采样频率 ； 根据频率分辩率 ，确定所需DFT的长度 (3) 和N确定以后，即可确定相应模拟信号的时间长度 这里T是采样周期。 (5)周期信号的谱分析 对于连续的单一频率周期信号 ， 为信号的频率。 可以得到单一谱线的DFT结果，但这是和作DFT时数据的截取长度选得是否恰当有关，截取长度N选得合理， 可完全等于 的采样。 显然， Xe(k)与Xo(k)对称性： 故 因此,Xe(k)具有共轭对称性，称为X(k)的共轭偶对称分量。 用同样的方法可得到 X0(k)= - X*0(N-k) 即Xo(k)具有共轭反对称特性，称其为X(k)的共轭奇对称分量。 对于纯实数序列 x（n），即x（n）=xr（n），X（k）只有共轭偶对称部分，即X（k）=Xe（k），表明实数序列的DFT满足共轭对称性，利用这一特性，只要知道一半数目的 X（k），就可得到另一半的 X（k），这一特点在DFT运算中可以加以利用，以提高运算效率。 根据x(n)与X(k)的对称性，同样可找到X(k)的实部、虚部与x(n)的共轭偶部与共轭奇部的关系。 分别以xe (n)及x0 (n)表示序列x(n)的圆周共轭偶部与圆周共轭奇部： 同样应从圆周意义上理解 x(N-0)=x(0)。 可证明: DFT[xe(n)]=Re[X（k）] DFT[x0(n)]=jIm[X（k）]? （6）选频性 （对ω0有限制？） 对复指数函数 进行采样得复序列 x(n) 0≤n≤N-1 其中q为整数。当ω0=2π/N时，x（n）=ej2πnq/N,其离散傅里叶变换为 写成闭解形式 可见，当输入频率为qω0时，变换X（K）的N个值中只有 X（q）=N，其余皆为零，如果输入信号为若干个不同频率的信号的组合，经离散傅里叶变换后，不同的k上，X（k）将有一一对应的输出，因此，离散傅里叶变换算法实质上对频率具有选择性。 例:求余弦序列 的DFT （7）DFT与Z变换 有限长序列可以进行z变换 比较z变换与DFT变换，可见，当z=w-kN时， 即 图 DFT与z变换 o o o o o o o o o o o X(ejω) X(k) o Re[z] jIm[z] o 变量 周期 分辨率 是z平面单位圆上幅角为 的点，即将z平面上的单位圆N等分后的第k点。 1）X(k)也就是z变换在单位圆上等间隔的采样值。 2）X(k)也可看作是对序列傅氏变换X(ejω)的采样，采样间隔为： ωN=2π/N。 即 结论： 采样定律告诉我们，一个频带有限的信号，可以对它进行时域采样而不丢失任何信息；