常数项级数的审敛法幻灯片.ppt

2. 判别正项级数敛散性的方法与步骤 必要条件 不满足 发 散 满足 比值审敛法 根值审敛法 收 敛 发 散 不定 比较审敛法 用它法判别 部分和极限 3. 任意项级数审敛法 为收敛级数 Leibniz判别法: 则交错级数 收敛 概念: 绝对收敛 条件收敛 思考与练习： 解： 由比较审敛法知 收敛. 反之不成立. 例如： 收敛, 发散. 2. 用适当的方法判定下列级数的敛散性 解： 由比较法知 收敛. 3. 判别级数 的敛散性： 4. 判别下列级数的敛散性： 解 所以, 由比较审敛法。。。可知级数收敛。 分析: C 则级数 (A) 发散 ; (B) 绝对收敛; (C) 条件收敛 ; (D) 收敛性根据条件不能确定. 5. ∴ (B) 错 所以选C. 6. 判别下列级数的敛散性： 解: 考虑加括号的级数： 所以原级数发散。 发散。 故加括号后的级数发散，从而原级数发散. 考虑加括号的级数： 一、正数项级数的审敛法 二、交错级数的审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 四、小结 常数项级数的审敛法 2.正项级数收敛的充要条件: 定理 部分和数列 为单调增加数列. 一、正项级数及其审敛法 1.定义: 如果级数 中各项均有 ，则称级数 为正项级数. 正项级数收敛 部分和数列 有界。 证明 即部分和数列有界， 3. 比较审敛法 设 和 均为正项级数，且 不是有界数列 定理证毕. 比较审敛法的不便: 须有参考级数. 例1. 讨论 p 级数 (常数 p 0) 的敛散性. 解: 1) 若 因为对一切 而调和级数 由比较审敛法可知 p 级数 发散 . 发散 , 因为当 故 考虑级数 的部分和： 由比较审敛法知 p 级数收敛 . 时, 2) 若 收敛 . 若存在 对一切 重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数. 证明 4. 比较审敛法的极限形式: 设 ? ￥ = 1 n n u 与 ? ￥ = 1 n n v 都是正项级数 , 如果 则 (1) 当 时 , 二级数有相同的敛散性； (2) 当 时，若 收敛,则 收敛； (3) 当 时，若 发散,则 发散； 证明 由比较审敛法的推论, 得证. 由比较审敛法的推论, 得证. 即 由比较审敛法的推论, 得证. 5. 极限审敛法 解 原级数发散. 故原级数收敛. 证明 6.比值审敛法(达朗贝尔D’Alembert判别法)： 收敛 从而 因此 所以级数 发散. 且当 ′ 时 比值审敛法的优点: 不必找参考级数. 两点注意: 解 比值审敛法失效, 改用比较审敛法 (2) (3) 级数收敛. 7.根值审敛法 (柯西判别法)： 注：能用比值法判定敛散性的正项级数，必可用根值 法判定。但是可用根值法判定敛散性的正项级数，却 未必能用比值法。 解：因为 由根值审敛法可知原级数收敛。 注意：由于 可见此题不能用比值审敛法来判别. 例5 定义: 正、负项相间的级数称为交错级数. 二、交错级数及其审敛法 证明 又 满足收敛的两个条件, 定理证毕. 解 故原级数收敛. 定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. 证明 三、绝对收敛与条件收敛 以上定理的作用： 任意项级数 正项级数 注： （2）同理可证 定理 补充： 解 故由定理知原级数绝对收敛. 四、小结 正 项 级 数 任意项级数 审 敛 法 1. 2. 5.充要条件 6.比较法 7.比值法 8.根值法 4.利用绝对收敛. 交错级数 (莱布尼茨定理) 3.按基本性质; 交错级数