弹性力学第6章幻灯片.ppt

第六章 用有限单元法解平面问题 第六章 有限单元法 1.有限单元法(Finite Element Method，简称FEM)是20世纪50年代以来随着电子计算机的广泛应用而发展起来的又一种数值解法。简单地说，就是用结构力学方法求解弹性力学问题。首先将连续体变换为离散化结构，然后再应用结力方法或变分法进行求解。 FEM 简史 2. FEM的特点 （1）具有通用性和灵活性。 （2）对同一类问题，可以编制出通用程 序，应用计算机进行计算。 （3）只要适当加密网格，就可以达到工程 要求的精度。 （4）可以有效的求解弹性力学中的各种复杂边界问题 3 基本量和基本方程的矩阵表示 在有限单元法中，为了简洁清晰地表示各个基本量以及它们之间的关系，也为了便于编制程序应用电子计算机进行计算，广泛地采用矩阵表示运算 面力 位移 应变 应力 基本物理量： 体力 基本物理量 对于平面应力问题的物理方程可用矩阵表示为 FEM中应用的方程： 几何方程 应用的方程 简写为 应用的方程 平面应变问题的物理方程也可以用式（b）表示，但须将式（c）所示弹性矩阵D中的E换为 ，μ换为 。 用 表示虚位移，用 表示与该虚位移相应的虚应变。根据虚功方程：在虚位移过程中，外力在虚位移上所作的虚功等于应力在虚应变上所作的虚功，对于厚度为t的薄板，虚功方程可用矩阵表示： 应用的方程 设作用于i点的集中力沿 X和y方向的分量为 ， 作用于j点的为 等等。 这些集中力以及和它们相应的虚位移可用列阵表示为 于是给外力在虚位移上的虚功为 ——结点虚位移， ——对应的虚应变。 应用的方程 即虚功方程 其中 FEM的分析步骤 （1）离散。将原来连续结构看成若干单元组合而成的结构 （2）单元分析。建立单元结点力与节点之间的关系式 （3）将载荷转移到主结点形成等效节点载荷 （4）对每个节点建立平衡方程 FEM的概念 2.应用结构力学位移法求解离散化结构: 结力法求解 以三结点三角形单元组成的离散化结构为例，分析步骤如下： （2) 应用插值公式, 由单元结点位移求单元的位移函数。 （1）取三角形单元各结点位移为基本未知量。他们是 称为单元的结点位移列阵 结力法求解 N称为形函数矩阵 （5）应用虚功方程，由单元的应力 ，求出 单元的结点力，表示为 （4）应用物理方程，由单元的应变 ，求 出 单元的应力，表示为 （3）应用几何方程，由单元的位移函数d， 求出单元的应变，表示为 结力法求解 （6）将每一单元中的各种外荷载，按虚功 等效原则移置到结点上，化为结点荷 载，表示为 结力法求解 因而i 结点上平衡方程为 其中 表示对围绕i 结点的单元求和； 结力法求解 (7) 对每一结点建立平衡方程。组成整个结构的平衡方程组。 结点载荷 结点力 经整理平衡方程组可表示为 K为整体劲度矩阵 结力法求解 谢谢 第六章 用有限单元法解平面问题