数字信号处理(王震宇_张培珍编_)_第二章幻灯片.ppt

2.3 离散时间系统 设离散时间系统的输入序列为x(n)，系统输出序列用y(n)表示。设运算关系用T[·]表示，输出与输入之间关系用下式表示y(n)=T[x(n)]，其框图如图2.12所示。 图2.12 输出与输入之间的关系 离散时间信号与离散时间系统 2 离散时间系统的线性 线性系统满足叠加性和齐次性。 叠加性y1(n) + y2(n) = T[x1(n)] + T[x2(n)] = T[x1(n)+x2(n)] 齐次性 ay1(n) = aT[x1(n)] = T[ax1(n)] ay2(n) = aT[x2(n)] = T[ax2(n)] 线性 y (n) = T[ax1(n) + bx2(n)] = ay1(n) + by2(n) （其中a和ｂ均为常数） 假设系统的输入序列为x1(n)和x2(n)，输出序列对应为y1(n)和y2(n)，则有y1 (n)=T[x1(n)]和y2(n)=T[x2(n)]成立。 离散时间信号与离散时间系统 2 例2.2 x(n)和y(n)分别表示系统的输入和输出，判断系统 y(n) = 2x(n) + 3是否是线性的。 解 令y1(n) = 2x1(n) + 3和y2(n) = 2x2(n) + 3。对于线性系统，根据叠加性，有 y(n) = T[x1(n) + x2(n)] = 2T[x1(n) + x2(n)] + 3 = 2x1(n) + 2x2(n) + 3 然而 y1(n) + y2(n) = [2x1(n) + 3] + [2x2(n) + 3] = 2x1(n) + 2x2(n) + 6 因此，y(n) ≠ y1(n) + y2(n)，故该系统不是线性的。 离散时间信号与离散时间系统 2 离散时间系统的时不变性 若输入为x(n)，输出为y(n)，则当输入为x(n-n0)时，输出为y(n-n0)。 即，若时不变系统有y(n)=T [x(n)]，则 y(n-n0) =T[x(n-n0)] ， 其中n0为任意整数。 例2.3 x(n)和y(n)分别表示系统的输入和输出，系统y(n) = 2x(n) + 3是否是时不变的。 解 对于系统y(n) = 2x(n) + 3来说，由于 y(n-n0) = 2x(n-n0) + 3 = T[x(n-n0)] 故该系统是时不变的。 离散时间信号与离散时间系统 2 例2.4 x(n)和y(n)分别表示系统的输入和输出，系统y(n) = x(n) cos(ωn+1)是不是时不变的。 解 对于系统y(n) = x(n) cos(ωn+1)来说，由于 y(n-n0) = x(n-n0) cos[ω(n-n0)+1] 然而 T[x(n-n0)] = x(n-n0) cos[ωn+1] 因此，y(n-n0) ≠T[x(n-n0)]，故该系统不是时不变的。 离散时间信号与离散时间系统 2 离散时间系统的因果性和稳定性 因果系统，是指某时刻的输出只取决于此刻以及该时刻以前时刻的输入的系统。 即，n =n0的输出y(n0)取决于n≤n0的输入x(n)|n ≤ n0 例如 y(n) = x(-n)是非因果系统，因n 0的输出决定于n0时的输入。 线性时不变系统是因果系统的充要条件为h(n)=0，n0。 所谓稳定系统，是指有界的输入产生有界的输出的系统。即，若 | x(n)| ≤ M ∞，则 | y(n)| ≤ P ∞ 离散时间信号与离散时间系统 2 系统稳定性判断对分析系统具有十分重要意义。 线性时不变系统是稳定系统的充要条件是 即单位脉冲响应是绝对可和的。 离散时间信号与离散时间系统 2 例2.5 某线性时不变系统，其单位脉冲响应为 ，试讨论其是否是因果的、稳定的系统。 解 (1) 因为 时， ，所以该系统是非因果系统。 (2) 因为 ， 所以当 时系统稳定， 当 时系统不稳定。 离散时间信号与离散时间系统 2 离散时间系统 一个系统的输入与输出信号都是离散的时间信号。 离散时间系统的描述 离散时间系统通常采用差分方程来描述。 一个线性的连续时间系统总可以用线性微分方程来表达。 其N阶线性常系数差分方程的一般形式： 离散时间信号与离散时间系统 2 常系数线性差分方程求解方法 迭代法、时域经典法(齐次解+特解)、离散卷积法、z变换法 例2.6 设差分方程