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* 前言 第 八 章 晶体的能带结构 从STM得到的硅晶体 表面的原子结构图 物理学前言之一 材料的性质 大规模集成电路 半导体激光器 超导 人工微结构 §8.1 晶体的能带 一. 电子共有化 晶体具有大量分子、原子或离子有规则 排列的点阵结构。 电子受到周期性势场的作用。 a 按量子力学须解定态薛定格方程。 解定态薛定格方程(略）， 可以得出两点重要结论： 1.电子的能量是分立的能级; 2.电子的运动有隧道效应。 原子的外层电子(高能级)， 势垒穿透概率 较大， 电子可以在整个晶体中运动, 称为 共有化电子。 原子的内层电子与原子核结合较紧,一般 不是 共有化电子。 二. 能带 (energy band) 量子力学计算表明，晶体中若有N个 原子，由于各原子间的相互作用，对应于 原来孤立原子的每一个能级,在晶体中变 成了N条靠得很近的能级,称为能带。 晶体中的电子能级 有什么特点？ 能带的宽度记作?E ，数量级为 ?E～eV。 若N~1023,则能带中两能级的间距约10-23eV。 一般规律： 1. 越是外层电子，能带越宽，?E越大。 2. 点阵间距越小，能带越宽，?E越大。 3. 两个能带有可能重叠。 离子间距 a 2P 2S 1S E 0 能带重叠示意图 三 . 能带中电子的排布 晶体中的一个电子只能处在某个能带中的 某一能级上。 排布原则： 1. 服从泡里不相容原理（费米子） 2. 服从能量最小原理 设孤立原子的一个能级 Enl ，它最多能容纳 2 (2 +1)个电子。 这一能级分裂成由 N条能级组成的能带后， 能带最多能容纳 2N(2l +1)个电子。 电子排布时，应从最低的能级排起。 有关能带被占据情况的几个名词： 1．满带（排满电子） 2．价带（能带中一部分能级排满电子） ? 亦称导带 3．空带（未排电子） ? 亦称导带 4．禁带（不能排电子） 2ｐ、3ｐ能带，最多容纳 6N个电子。 例如，1ｓ、2ｓ能带，最多容纳 2N个电子。 2N(2l+1) 一. 布洛赫定理 一个在周期场中运动的电子的波函数应 具有哪些基本特点？ 在量子力学建立以后，布洛赫（F.Bloch） 和布里渊（Brillouin）等人就致力于研究 周期场中电子的运动问题。他们的工作为 晶体中电子的能带理论奠定了基础。 布洛赫定理指出了在周期场中运动的电子 波函数的特点。 §8.2（补充） 布洛赫定理 空间 在一维情形下，周期场中运动的电子能量E(k) 和波函数 必须满足定态薛定谔方程 k -------表示电子状态的角波数 V( x ) ----周期性的势能函数，它满足 V( x ) = V( x + n a ) a ---- 晶格常数 n -----任意整数 布洛赫定理： 式中 也是以a为周期的周期函数，即 * 注*：关于布洛赫定理的证明，有兴趣的读者 可以查阅《固体物理学》黄昆原著 韩汝琦改编 （1988）P154 具有(2)式形式的波函数称为布洛赫波函数, 或布洛赫函数。 满足（1）式的定态波函数必定具有如下的特殊形式 布洛赫定理说明了一个在周期场中运动的电子 波函数为：一个自由电子波函数 与一个具有 晶体结构周期性的函数 的乘积。 ? 只有在 等于常数时，在周期场中运动的 电子的波函数才完全变为自由电子的波函数。 ? 这在物理上反映了晶体中的电子既有共有化的 倾向，又有受到周期地排列的离子的束缚的特点。 ? 因此，布洛赫函数是比自由电子波函数 更接近实际情况的波函数。 ? 它是按照晶格的周期 a 调幅的行波。 实际的晶体体积总是有限的。因此必须 考虑边界条件。 设一维晶体的原子数为N,它的线度为 L=Na,则布洛赫波函数 应满足如下条件 此式称为周期性边界条件。 二 . 周期性边界条件 采用周期性边界条件以后，具有 N 个晶格点的 晶体就相当于首尾衔接起来的圆环： 在固体问题中，为了既考虑 到晶体势场的周期性，又考虑到晶体是有限 的，我们经常合