材料力学第9章-压杆稳定3+第8章-能量法1幻灯片.ppt

受力复杂的圆截面杆(扭矩沿杆的轴线为变量) d? dx T T 整个杆的扭转应变能为 可取微段分析： 能量法/杆件的应变能 3、平面弯曲 纯弯曲梁的应变能： 式中 M ——梁横截面上的弯矩； I ——梁横截面对中性轴的惯性矩 L m m o B ? A m 能量法/杆件的应变能 横力弯曲梁(弯矩沿梁的轴线为变量)的应变能 整梁的弯曲应变能 按微段分析： 和拉压、扭转应变能比较 能量法/杆件的应变能 4、剪切 纯剪切时微段梁的应变能： ? FS dx FS O B C FS/A ? 由于切应力在截面上并非均匀分布。引入系数k,因此 微段梁的应变能为： 能量法/杆件的应变能 整个梁的剪切应变能： 式中 (b为截面的宽度，S为截面对中性 轴的静矩) (2)一般实心截面的细长梁:剪切应变能远小于其弯曲应变能，通常忽略不计。 (1) k 由截面的几何形状决定: 矩形截面:k = 1.2, 圆截面: k = 10/9,圆环形截面:k = 2 能量法/杆件的应变能 F 例：矩形截面悬臂梁，长L，截面高h，宽b，k = 1.2。 细长梁 整个梁的弯曲应变能： 细长梁的剪切应变能远小于弯曲应变能，可忽略不计！ 整个梁的剪切应变能： 得 解： 二、应变能的普遍表达式(克拉贝隆原理) F O B ? A 基本变形下应变能的一般表达式： 式中F——广义力(力或力偶)； ?——广义位移(线位移或角位移) 且 F =C? (力与位移成线性关系) 表明：弹性体的应变能是一个状态量，仅决定于外力和位移的最终值，与加载的过程无关。 能量法/克拉贝隆原理 应变能的普遍表达式(克拉贝隆原理)的导出 设在某弹性体上作用有外力 ，在支承约束 下，在相应的力 方向产生的位移为 ，(i =1,2,…,n)。 则物体的应变能为： 能量法/克拉贝隆原理 证明： 弹性体在 载荷作用下同时发生几种基本变形 (即组合变形）。且弹性体在变形过程中贮存的应变能只 取决于外力和位移的终值，与加力顺序无关。 因此可假设 按同一比例?从零逐渐增加到终值， 即外力增加的过程为： 材料是线弹性的，则对应的位移也以?的比例增加，相应的位移为： 式中? ：0?1 (从0线性增加到1) 能量法/克拉贝隆原理 如果?增加d?，则位移的相应增量为： 则外力 在以上位移增量上所作的功为（略去高阶微量）： 积分得 此式称为克拉贝隆原理。 能量法/克拉贝隆原理 特别注意点： ——广义力，可以是一个力，也可以是一个力偶， 或者是一对力，或者是一对力偶。 ——在所有力共同作用下(因 与全部作用力有关)， 与广义力 相对应的沿着力的方向的广义位移。 力——沿力矢方向的线位移 力偶——力偶转向的角位移 一对力——该对力两作用点沿力矢方向的相对线位移 一对力偶——该对力偶两作用截面间沿力偶转向的相对角位移 能量法/克拉贝隆原理 F ? 力：F，位移：? 力：m，位移：? F F L L+? 例子 力：F，位移：? 力：m，位移：? m m ? m ? 能量法/克拉贝隆原理 关于应变能计算的讨论 以上计算公式仅适用于线弹性材料在小变形下的应变形能的计算。 应变能可以通过外力功计算，也可以通过杆件微段上的内力功等于微段的应变能，然后积分求得整个杆件上的应变能。 3 应变能为内力（或外力）的二次函数，故叠加原理 在应变能计算中不能使用。 只有当杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移上不做功时，才可应用。例如： 能量法/克拉贝隆原理 4 应变能是恒为正的标量，与坐标轴的选择无关，在杆系结构中，各杆可独立选取坐标系。 能量法/克拉贝隆原理 M(x) — 只产生弯曲转角 FN (x) — 只产生轴向线位移 T(x) — 只产生扭转角 不计FS 产生的应变能 例1 试计算图示吊车架的应变能，并应用它求节点A的 竖直位移。已知E=200GPa,F =57.6kN。斜杆AB由两根 50?50?5mm等边角钢组成，每根角钢的横截面面积 ，横杆AC由两根No.10槽钢组成，每根槽钢 的横截面面积 。设各杆自重可以不计。 F 30° A C B 2m 能量法/克拉贝隆原理 解: F A 由节点A的平衡条件求得AB杆的内力： AC杆的内力为： 杆系的应变能： 设节点A的竖直位移为 ，则由 得： 能量法/克拉贝隆原理 例2 图示等截面悬臂梁，E,A,I 已知。在自由端