三、截断误差.PPTVIP

第二章 系统的数学模型与仿真算法 数学模型系统的分析和设计中有着相当重要的地位，也是计算机仿真的基础。 2.1 2.1.1、系统的分类 连续系统：系统中的变量（物理量）随时间连续变化。 离散系统：系统中的变量（物理量）随时间断续变化。如计算机控制系统。 我们所讨论的系统主要以线性定常连续系统为主。 线性系统满足叠加性和齐次性。 1. 微分方程建立的一般步骤 采用解析法来建立系统或元部件的微分方程所遵循的一般步骤是： （1）确定系统或元部件的输入、输出变量。 （2）根据物理和化学定律（比如：牛顿运动定律、能量守恒定律、克希霍夫定律等）列出系统或元部件的原始方程式，按照工作条件忽略一些次要因素。 （3）找出原始方程式中间变量与其它因素的关系式。 （4）消去原始方程式的中间变量，得到一个关于输入、输出的微分方程式。 （5）进行标准化处理，将输出各项放在等号左端，输入各项放在等号右端，并且按照微分方程的阶次降幂排列，同时将各系数化为具有一定物理意义的形式。 2.1.2 描述控制系统常用的数学模型 1、微分方程形式 2.1.2 描述控制系统常用的数学模型 4、零极点增益形式 2.1.2 描述控制系统常用的数学模型 例： 2-3-2 欧拉法（Euler method） 由以上推导得欧拉递推公式： 欧拉法数值解： 精确解： 1.00000000000000 1.00000000000000 1.00000000000000 0.96078943915232 0.92000000000000 0.85214378896621 0.77280000000000 0.69767632607103 0.58732800000000 0.52729242404305 0.39938304000000 0.36787944117144 0.23962982400000 0.23692775868212 二、稳定性的测试方程 详细讨论数值积分稳定性问题是非常复杂的，本节介绍一种判定算法稳定性的常用方法。 通常用一个简单的一阶常系数微分方程来考察算法的稳定性。如果一个算法连这样简单的方程都不能适应，则不能保证其绝对稳定性。 * * 2、传递函数形式 3、状态空间表达式 一阶微分方程组 模型转换： 掌握：1、传递函数模型转换为状态空间模型 2、结构图形式转换为状态空间模型 例如： h为步长 二、泰勒展开x(t) 取前两项，舍去高次项，写成差分方程得欧拉递推公式： 2-3-2 欧拉法（Euler method） 三、截断误差 欧拉法是由泰勒级数截断h2以上的高阶项而得到的，把截断项称为截断误差。 欧拉法的截断误差与h2同为一个数量级，具有一阶精度。当h减小时,截断误差会减少。 （注：截断误差为o（hp+1)时，称为具有p阶精度） 例：用欧拉法求解下面微分方程，取h=0.2 2-3-3 梯形法（RK2） 用梯形面积代替曲边梯形的面积。 其中k2是有欧拉法估计得到。 2-3-4 四阶龙格库塔法 （ the fourth-order Runge-Kutta Method) K1, K2, K3,K4,称为四阶龙格库塔系数。 四阶龙格库塔法取了泰勒级数的前五项之和得到，截断误差O（h5),具有四阶精度 多取几个点，然后将其斜率加权平均得一等效斜率，就得到四阶龙格库塔法。 2-3-5 几种数值积分法的分析 1、xn+1=xn+步长*各点斜率的加权平均 2、精度取决于步长h及阶次p。 3、本次计算只用到前一次的计算结果，属单步法。 单步法优点：占用存贮空间少，能自启动（从初值），可变步长。 2-3 数值积分法的稳定性 一、起源 数值积分法是一种近似的求解微分方程的方法。在反复的递推运算中将引入误差，若误差的积累越来越大，将使一个原本稳定的系统，得到的仿真结果却不稳定。 例如：有一个微分方程 其解析解： 欧拉法的递推公式为： 2-3 数值积分法的稳定性 可见：当|1-30h|1时，递推结果将是发散的。 当0h2/30时，递推结果是稳定的（收敛的） 其中，?为一复数， ?=?+j? ?0,（即原系统稳定）