中心力运动及太空力学.PPT

* * * * * * 例題 13.13 一人造衛星由地表上空 600 km 處發射，其初速度為 30 Mm/h，方向和地表的切線平行，如圖 13-27 所示。假設地球的半徑為 6378 km，質量 5.976(1024) kg，試求 (a) 軌道的偏心率，(b) 人造衛星在遠地點的速度。 圖13-27 * 13.7 中心力運動及太空力學 * 解 (a) 軌道的偏心率可由方程式 13-18 求得。首先，方程式 13-20 和 13-21 可求出 h 和 C 兩個常數。因為 所以 * 13.7 中心力運動及太空力學 * 因此 由方程式 13-23，可看出軌道為橢圓形。 (b) 人造衛星從圖 13-27 中的遠地點 A 以速度 vA 發射時，如果滿足下述條件則軌道維持不變 利用方程式 13-27，可得 * 13.7 中心力運動及太空力學 * 因此 注意：因為 h 為常數，因此離地球愈遠的人造衛星，其運動速度愈慢。 * 13.7 中心力運動及太空力學 * END * 13.7 中心力運動及太空力學 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 13.7 中心力運動及太空力學 13.7 中心力運動及太空力學 13.7 中心力運動及太空力學 * 13.7 中心力運動及太空力學 * 如果質點運動時只受到一種永遠指向一固定點的力，此種運動稱為中心力運動（central-force motion）。這種形式的運動通常由靜電或重力造成。 考慮圖 13-22a 中的質點 P，具有質量 m 且只受到中心力 F 的作用。 此質點的自由體圖如圖 13-22b，使用極座標（r, θ）其運動方程式為 * 13.7 中心力運動及太空力學 * 方程式 13-11 的第二式可以寫成 積分後可得到 式中的 h 為積分常數。 * 13.7 中心力運動及太空力學 * 圖13-22a * 13.7 中心力運動及太空力學 * 圖13-22b * 13.7 中心力運動及太空力學 * 注意圖 13-22a 中 r 移動 dθ 的角度時，半徑 r 所行經的陰影部分的面積 dA ＝ 1/2 r2dθ。若面積速度（areal velocity）定義為 由此式可了解受中心力作用之質點的面積速度為常數。也就是說，質點沿路徑移動時，在單位時間內經過相同的面積。 為了求得運動路徑 r ＝ f (θ)，需自方程式 13-11 中消去獨立變數 t。 * 13.7 中心力運動及太空力學 * 使用微積分的連鎖法則與方程式 13-12，方程式 13-11 中的時間導數可以用下式取代 將新的因變數 (xi) ξ ＝ l/r 代入第二式，得到 * 13.7 中心力運動及太空力學 * 此外，方程式 13-12 的平方為 將上面兩式代入方程式 13-11 第一式可得 或是 此微分方程定義當質點受到中心力 F 的作用時，該質點的運動路徑。 * 13.7 中心力運動及太空力學 * 接著將以萬有引力作為中心力運動之應用，包括環繞地球迴轉的月球和人造衛星，以及環繞太陽的行星。 考慮一個典型的太空力學問題，圖 13-23 中為人造衛星或太空船，以初速度 v0 發射到自由飛行軌跡上。假設此速度最初平行於地球表面的切線，如圖所示。 當人造衛星剛開始自由飛行時，只有受到地心引力的作用。依據牛頓萬有引力定律，中心力 F 永遠作用於地球和人造衛星的質心連線上，如圖 13-23 所示。 * 13.7 中心力運動及太空力學 * 此人造衛星受到一中心力的作用，本節所建立的方程式可以用來預測此人造衛星的運動。 * 13.7 中心力運動及太空力學 * 圖13-23 * 13.7 中心力運動及太空力學 * 由方程式 13-1，此引力的大小為 其中 Me 與 m 分別代表地球和人造衛星質量，G 為重力常數，r 為質心間的距離。 令前面方程式中 ξ ＝ 1/r，將其代入方程式 13-14，可得 此二次常微分方程式含有常係數，且非齊次。其解為通解與特解的和。 * 13.7 中心力運動及太空力學 * 通解為方程式等號右邊為零時的解，此解為 此方程式代表衛星的自由飛行軌跡，這是以極座標表示的圓錐面截線方程式。 * 13.7 中心力運動及太空力學 * 方程式 13-16 代表人造衛星自由飛行時的軌跡，此軌跡是以極座標表示的圓錐截線，如圖 13-24 所示。 圓錐截線的定義為：平面上 P 點到固定點 F 的距離與 P 點到固定直線之距離比為常數，所有 P 點的軌跡所連成的曲線即為圓錐截線。此固定點稱為焦點（fo