叫做平面的矢量式法式方程.PPT

三、空间直线的参数式方程 如何用直线的方程和平面的方程之间的解的情况判断直线和平面的位置关系 （直线与平面相交，直线与平面平行，直线在平面上） 定理3.5.1 直线(1)和平面(2)的相互位置有下列充要条件： 1。相交： 2。平行： 3。直线在平面上 求直线与平面的交点 § 3.6 空间两直线的相关位置 空间两直线的相关位置 异面、共面（相交，平行，重合） 相关位置的判断方法 设两直线的方程为： 定理3.6.1 判定空间两直线(1)和(2)的相关位置的充要条件为 1。异面： 2。相交： 3。平行： 4。重合 空间两直线的夹角 平行于空间两直线的两矢量间的夹角，叫做空间两直线的夹角，令 表示两直线 表示其方向矢量，则 定理3.6.2 空间两直线(1)与(2)夹角的余弦为 推论：两直线(1)与(2)垂直的充要条件是 两异面直线间的距离与公垂线方程 1. 空间两直线上的点之间的最短距离叫做两直线之间的距离 2. 与两异面直线都垂直相交的直线叫做两异面直线的公垂线 3. 两异面直线间的距离=它们的公垂线夹在两异面直线间的线段的长(为什么？) 两异面直线(1)和(2)间的距离是 例1. 求通过点P(1,1,1)且与下面两直线都相交的直线方程 例2 已知两直线 试证明这两条直线为异面直线，并求它们之间的距离及其公垂线方程 两异面直线(1)和(2)的公垂线方程为 其中 § 3.7 空间直线与点的相关位置 §3.8 平面束 平行平面束 定义：空间中平行于同一个平面的所有平面的集合 定理3.8.2 如果两个平面 为平行平面，即A1:A2=B1:B2=C1:C2 ,则方程 表示平行平面束，其中l,m是不全为零的实数，且 -m:l A1:A2=B1:B2=C1:C2 推论：由平面Ax+By+Cz+D=0决定的平行平面束为 Ax+By+Cz+λ=0 其中 λ是任意实数 例 求与平面3x+y-z+4=0平行且在oz轴上截距等于-2的平面方程。 例 试证两直线 在同一平面上的充要条件是 例 判断三平面2x-y+5=0, x-2y+z+2=0, 3x-3y+z+7=0是否属于同一平面束，为什么？ 例 求直线 在平面x+y+z=0上的投影 （直线）方程 L d P1 是L外一点, 设直线L, 求P0到L的距离d . 设 为L上任一点，如图 S S 又 于是 点到直线的距离公式 例10 求点(5,4,2)到直线 的距离d. 解 通过定直线 L的所有平面的集合称为该 直线 L 的平面束. 解: 构造平面族: （n,m为不全为0的任意实数） n(A1 x+B1 y+C1 z+D1)+ m(A2 x+B2 y+C2 z+D2 )=0 即 (nA1 +m A2 )x+(nB1 + mB2 )y+(nC1 + mC2 )z+(nD1 + m D2 )=0 (*) L 设直线 L的一般方程为: A1 x+B1 y+C1 z+D1 =0 A2 x+B2 y+C2 z+D2 =0 求L的平面束方程. 事实上 设 为L外任一点，可取 则M0满足(*). 则 1. (*)式为过直线L的平面方程. 2. 过L的任何平面都包含在(*)所 表示的平面族内. 因此, (*)是L的平面束方程. 注: 在求过已知直线且垂直于已知平面的平面 方程时,用平面束方程比较方便. 例1 求直线 在平面 内的投影直线L的方程. 解: 显然, L是过L1且垂直于? 的平面?1与?的交线.故先求?1. 设过直线L1的平面束方程为: 例1 求直线 在平面 内的投影直线L的方程