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?校核刚度 §8-3 求梁的挠度与转角的共轭梁法 一、方法的用途：求梁上指定点的挠度与转角。 二、方法的理论基础：相似比拟。 上二式形式相同，用类比法，将微分方程从形式上转化为外载与内力的关系方程。从而把求挠度与转角的问题转化为求弯矩与剪力的问题。 三、共轭梁（实梁与虚梁的关系）： ①x轴指向及坐标原点完全相同。 ②几何形状完全相同。 ③实梁对应方程： ⑤虚梁“力”微分方程的积分 ④ 虚梁对应方程： 下脚标带“0”的量均为坐标原点的量。 实梁“位移”微分方程的积分 ⑥依实梁的“位移”边界条件建立虚梁的“力”边界条件。 中间铰支座A 固定端A A 固定端A A 自由端A A 自由端A A 铰支端A A 铰支端A A 中间铰支座A 中间铰A 中间铰A 总结：等截面实梁与虚梁的关系如下： ① x 轴指向及坐标原点完全相同。 ②几何形状完全相同。 ④依实梁的“位移”边界条件，建立虚梁的“力”边界条件。 ⑤依虚梁的“内力”，求实梁的“位移”。 a ：固定端 自由端 b ：铰支座 铰支座 c ：中间铰支座 中间铰链 ③ 解：? 建立坐标和虚梁 例2 求下列等截面直梁B点的位移（挠度和转角）。 ?求虚梁B点的剪力和弯矩，以求实梁B点的转角和挠度 求实梁的弯矩方程 以确定虚梁荷载 q L A B f x A B L ?求虚梁B点的剪力和弯矩，以求实梁B点的转角和挠度 A B L B点之矩 解：? 建立坐标和虚梁 ?求虚梁B点的剪力和弯矩 求实梁的弯矩方程以确定虚梁荷载 q qa2 qa A B C D qa2/2 x M qa2/2 qa2/2 3qa2/8 – + a a a f x D ?求虚梁B点的剪力和弯矩 ?C点左右位移怎样？ qa2/2 x M qa2/2 qa2/2 3qa2/8 – + A B C a a a D qa2/2 3qa2/8 ①将截面的变化折算到弯矩之中去。 ②几何形状：长度不变，惯性矩变为I0 。 ③实梁对应方程： 虚梁对应方程： 四、变截面直梁的共轭梁法： 其它与等截面直梁完全相同。 ④ 例3 求下列变截面直梁C点的位移，已知：IDE =2IEB =2IAD 。 解：? 建立坐标和虚梁 a a P 0.5a A B C D E x f x M a a P 0.5a A B C D E x f x M ?求虚梁C点的剪力和弯矩 例4 求A点转角和C点挠度。 解、?载荷分解如图 ?由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。 q q P P = + A A A B B B C a a q q P P = + A A A B B B C a a ?叠加 例5 按叠加原理求C点挠度。 解：?载荷无限分解如图 ?由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。 ?叠加 q0 0.5L 0.5L x dx b x f C 例6 结构形式叠加（逐段刚化法) 原理说明。 = + P L1 L2 A B C B C P L2 f1 f2 等价 等价 x f x f f P L1 L2 A B C 刚化AC段 P L1 L2 A B C 刚化BC段 P L1 L2 A B C M x f 例7 试用叠加法求图(a)所示阶梯形变截面悬臂梁自由端C的挠度 由于梁的抗弯刚度EI在B处不连续，若由挠曲线微分方程积分求解，须分段进行，工作量较大。可用叠加法求解。 假定AB段刚化，研究自由端C对截面B的相对挠度，即考虑图（b） 解除AB段的刚化并令BC段刚化考虑图（c） 由梁的变形连续条件，直线BC因AB段的弯曲变形而移位，使C点有相应的挠度 将图3.46(b)和(c)两种情况的变形叠加后，即可求得自由端C的挠度 这种分析方法叫做梁的逐段刚化法。 例8 求下列变截面直梁C点的位移，已知：IDE =2IEB =2IAD 。 a a P 0.5a A B C D E x f dx x Q Q+dQ M M+dM 一、弯曲应变能的计算： §6–b 梁内的弯曲应变能 应变能等于外力功。不计剪切应变能并略去 dq M(x) P1 M x f P2 dx dq r 例8 用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。 解：外力功等于应变能 在应用对称性，得： 思考：分布荷载时，可否用此法求C点位移？ P a a q x f 二、 梁的冲击问题 1.假设：?冲击物为钢体； ?不计被冲击物的重力势能和动能； ?冲击物不反弹； ?不计声、光、热等能量损耗（能 量守恒）。 mg L h A B C A B C x f fd 冲击前、后，能量守恒，所以： A B C x f fd h B A C mg E =P 三、动响应计算： 解：?求C点静挠度 动响应计算等于静响应计算与动荷系数之积. 例9 结构如