专题--列求和的基本方法和技巧.doc

数列求和的基本方法和技巧 主要方法： 1．； 2．； 3．； 2、等比数列求和公式： 4、 [例1] 已知，求的前n项和. 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. [例2] 求和：………………………① [例3] 求数列前n项的和. 三、反序相加法求和 这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个. [例4] 求证： [例5] 求的值 四、分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例6] 求数列的前n项和：，… [例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和. [例8]．求和：① ② ③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n项和 五、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如： （1） （2） （3） （4） （5） (6) [例9] 求数列的前n项和. [例10] 在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和. [例11] 求证： [例12].求和 练习:求 六、合并法求和 针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn. [例13] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值. [例14] 数列{an}：，求S2002. [例15] 在各项均为正数的等比数列中，若的值. 七、利用数列的通项求和 先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法. [例16] 求之和. [例17] 已知数列{an}：的值. [例18]．已知数列。 参考答案：数列求和 [例1] 已知，求的前n项和. 解：由 由等比数列求和公式得 （利用常用公式） ＝＝＝1－ 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. [例2] 求和：………………………① 解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}{}的通项之积 设…. ② （设制错位） ①－②得 （错位相减） 再利用等比数列的求和公式得： ∴ [例3] 求数列前n项的和. 解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积 设…………………………………① …② （设制错位） ①－②得 （错位相减） ∴ 三、反序相加法求和 这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个. [例4] 求证： 证明： 设…① 把①式右边倒转过来得 （反序） 又由可得 ……….. ② ①+②得(反序相加） ∴ [例5] 求的值 解：设…① 将①式右边反序得 ….② （反序） 又因为 ①+②得 （反序相加） ＝89 ∴ S＝44.5 四、分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例6] 求数列的前n项和：，… 解：设 将其每一项拆开再重新组合得 （分组） 当a＝1＝ （分组求和） 当时，＝ [例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和. 解：设 ∴ ＝ 将其每一项拆开再重新组合得 Sn＝ （分组） ＝ ＝ （分组求和） ＝ [例8]．求和：① ② ③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n项和 思路分析：通过分组，直接用公式求和。 解：① ② （1）当时， （2）当 ③ 总结：运用等比数列前n项和公式时，要注意公比讨论。 五、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每