中学数学教学中的向量续2.pdf

数学通报 2007年 第46卷 第6期 中学数学教学中的向量(续2) 齐民友 (武汉大学数学与统计学院 430072) 4.2 三角形的互心和几个著名的难“题” 这里，例如TC表示有向 三角形的重心用向量方法来处理是最简单的 线段比的有“符号的长度”， 了.对于△ABC，我们仍然任意定一个原点O，并作 P可以在三角形内也可能在 出有关各点的位置向量(图12中的虚线)，于是BC 其外，如果P在其内，L,M, 的中点L对应Tr6=1(69+Ma 先不问三条中 N必均为内分点.总之，不 a 一 L C 乙 可能只有两个内分点.由此 线是否共点，先看一条中线AL，其上的点都可用 可见利用(16)中的系数符 圈13 Ceva定理 、万全 .，， 、f万护 、万卞 .1一又.万六 .1一A 、 号来判定分点是内分或外分是多么方便.随着我们 又6吟+1一劝仪奋=久(〕A+止七子O +二二二 芜〔来 ’’一一 ’、一 “’一 、‘一一 ’ 2 一 ’ 2 一 “- 学的数学的增加，就会越来越看到这样做的优越 表示，同样，作八刀的中点以及这个中点到C点的联 性.所以最好是在中学阶段就抛掉分点必是内分， 线(另一中线)，其上的各点应可表为工酬献+ 定比必定为正的约束. ” 、“ ’~ ‘’‘、‘~ 只产叭~ 刁~/矽 2 一- 证明 先证必要性，任取一点O作坐标原点 12}`O}+,uOr,，是另一参数渗数又出现了，可 (图上未标出)，则必有实数Aeft,V使 是它又给我们带来好处).求它的交点就是要找一 岔=(1一A)苗+又Off,` 个久，一个产使这两个式子系数全相同.因此，应该令 w一((1一,.)}c+产OA =1-11上-A 1一又 丽 =(1一v)前+v葩 (20) =1-u‘ =#，立刻可见几= 2 ’ 2 2 而且茁 =又茄，岔=一((1一A)W， 由对称性 又一 1 u=3而交点为晋5t+音go+合T(. 从嚼 立即知道它也在第三条中线上. =9-1 v一 1 这个证明应该是最好 同理AM-M 的，说它最好是因为它所用 而我们的目的则是要证明 的方法全部来 自中点概念 =一1 (21) 的本质，没有一点掺杂.我 如v 很奇怪，为什么现在的教材 为此，我们再利用三线都经过点尸，而尸在AL 1 l . 妇 没有这样直截了当地处理 加 厅 . 召 1 1 尸 \ BM,CN上，于是又有三个实数a,月,Y使