离散数学 第五章：二元运算和其性质1.ppt

代数结构;代数结构是近世代数或抽象代数学研究的中心问题, 是数学中最重要的、基础的分支之一, 是在初等代数学的基础上产生和发展起来的. 它起始于19世纪初, 形成于20世纪30年代.;代数结构是以研究数字、文字和更一般元素的运算的规律和由这些运算适合的公理而定义的各种数学结构的性质为中心问题. 它对现代数学如拓扑学、泛函分析等, 以及一些其他科学领域, 如计算机科学、编码理论等, 都有重要影响和广泛地应用;第五章 代数系统的一般性质 本章在集合、关系和函数等概念基础上，研究更为复杂的对象——代数系统，研究代数系统的性质和特殊的元素，代数系统与代数系统之间的关系。如代数系统的同态、满同态和同构，这些概念较为复杂也较为抽象，是本课程中的难点。它们将集合、集合上的运算以及集合间的函数关系结合在一起进行研究。 前两章内容是本章的基础，熟练地掌握集合、关系、函数等概念和性质是理解本章内容的关键。 主要内容如下： 5.1二元运算及性质 5.2代数系统及其子代数和积代数 5.3代数系统的同态和同构 ;5.1 二元运算及其性质?;验证一个运算是否为集合S上的二元运算需考虑两点： (1) S中任意两个元素都能进行这种运算，且运算结果唯一。 (2) S中任意两个元素的运算结果都属于S，即S对该运算是封闭的。;例1. 判断下列运算是否为指定集合上的二元运算;通常用;2. n元运算;如果集合S是有穷集 , S上的一元和二元运算也可以用运算表给出.表5,1和5.2是一元和二元运算表的一般形式.;n;例2 ：设S={1，2}，给出P(S)上的运算~和 ?的运算表。;例3 设S={1,2,3,4},定义S上二元运算如下：;二、二元运算的一些常见的性质;解：因为;性质2－结合律;性质3－幂等律;定义5-6 设 S 是非空集合，;例：设集合A={α,β}, 在A上定义两个二元运算 和 如下表所示。运算 对于运算 可分配吗？反之如何？;性质5－吸收律;例7： 给定;三、集合中与二元运算相关的一些特殊的元素;和 是A上的两个二元运算,;定理 5 －１ 设 是集合A上的二元运算， 和 分别是 的左 幺 元和 右 幺 元，则 ，且 是 的唯???的单位元。;2. 零元;定理 5 － 2 设 是集合A上的二元运算， 和 分别是 的左 零 元和 右 零 元，则 ，且 是 的唯一的零元。;3. 逆元;例9. 给定S,⊙ , 其中S={?,?,?,?,?}且⊙的定义如表所示. 试指出该代数结构中各元素的左、右逆元情况．;一般地说来，一个元素的左逆元不一定等于该元素的右逆元. 而且, 一个元素可以有左逆元而没有右逆元, 同样可以有右逆元而没有左逆元. 甚至一个元素的左或者右逆元还可以不是唯一的．;性质6－吸收律;+;礁岸若忱矽徒埂儿浇构貌拣输强柜杭默纬僵阅吾媒唁附捐他侗骗辕启艰出离散数学 第五章：二元运算和其性质1离散数学 第五章：二元运算和其性质1;松汐国枪莉撵蹋苞幕窒都道欺怀泞昌茸惹诈睬渡平书刘第郡胸团继欺似团离散数学 第五章：二元运算和其性质1离散数学 第五章：二元运算和其性质1;涎番蕾鼻刚芥皖孰纺谗桑发逊刺派丸瘫寞凭挠屈懈骸释虚两届舞奖喊恼译离散数学 第五章：二元运算和其性质1离散数学 第五章：二元运算和其性质1;总结: 设＊是集合S上的一个二元运算。在运算表中判断规律：;兄痹夹阁已睫根勿芹书浊栗梨哑崩雹常菱知都普溜陋牌辽求营吓懂抵祟延离散数学 第五章：二元运算和其性质1离散数学 第五章：二元运算和其性质1;解: (2) ;瓮太讣巷刨厕呜丑竖窗该友处拯廊严窃先使救坝坦冬瀑篓险至膳遣隘巾连离散数学 第五章：二元运算和其性质1离散数学 第五章：二元运算和其性质1;例: 设∑是字母的有穷集,称为字母表, ∑中的有限个字母组成的序列称为∑上的串.对任何串ω,串中字母的个数叫做串的长度,记作|ω| . 长度是0的串叫做空串.记作λ.;1). 规定∑*上的二元运算— 连接运算?;2)Σ*上的一元运算—反串; 对给定的Σ,Σ*的任何子集都称为Σ上的一个语言,记作 L, L ? Σ *. ;4) P(∑*)上定义运算; 如果对于某个L∈P(∑*)有L’＝L,则称L为∑上的镜象语言,;1.二元运算的主要性质： 交换律，结合律，幂等律，分