modified 复变函数-6.ppt

* 例1 求把角形域0arg zp/4映射成单位圆|w|1的一个映射.[解] z=z4将所给角形域0arg zp/4映射成上半平面Im(z)0. 又从上节的例2知, 映射 * (z) O O (z ) 1 (w) z = z4 * 例2 求把下图中由圆弧C1与C2所围成的交角为a的月牙域映射成角形域j0arg wj0+a的一个映射. a j0 (w) O 1 C1 C2 a (z) O -i i * a O (z) a j0 (w) O 1 C1 C2 a (z) O -i i 1 * [解] 先求出把C1,C2的交点i与-i分别映射成z平面中的z=0与z=?, 并使月牙域映射成角形域0argz a;再把这角形域通过映射w=exp(ij0)z转过一角度j0, 即得把所给月牙域映射成所给角形域的映射.将所给月牙域映射成z平面中的角形域的映射是具有以下形式的分式线性函数: 其中k为待定的复常数. * * 例3 求把具有割痕Re(z)=a, 0?Im(z)?h的上半平面映射成上半平面的一个映射. x O y (z) C(a+ih) B D a O u v (w) a-h a a+h B C D * x O y (z) C(a+ih) B D a O u v (w) a-h a a+h B C D O (z1) C B D ih -h2 C O B D (z2) C O Bh2 D (z3) O (z4) C B D -h +h z1=z-a z2=z12 z3=z2+h2 w=z4+a * [解] 不难看出, 解决本题的关键显然是要设法将垂直于x轴的割痕的两侧和x轴之间的夹角展平. 由于映射w=z2能将顶点在原点处的角度增大到两倍, 所以利用这个映射可以达到将割痕展平的目的.首先, 把上半z平面向左作一个距离为a的平移:z1=z-a.第二, 再应用映射z2=z12, 便得到一个具有割痕-h2?Re(z2)+?, Im(z2)=0的z2平面.第三, 把z2平面向右作一距离为h2的平移: z3=z2+h2, 便得到去掉了正实轴的z3平面. * * 2. 指数函数 w=ez 由于在z平面内 w=(ez)=ez?0所以, 由w=ez所构成的映射是一个全平面上的共形映射. 设z=x+iy, w=reij, 则 r = ex, j = y, (6.4.2)由此可知: z平面上的直线x=常数, 被映射成w平面上的圆周r=常数; 而直线y=常数, 被映射成射线j=常数.带形域0Im(z)a映射成角形域0arg wa. 特别是带形域0Im(z)2p映射成沿正实轴剪开的w平面:0arg w2p.它们间的点是一一对应的. * ai O x y (z) arg w=a u O v (w) 2pi O x y (z) O u v (w) w=ez z=lnw * 由指数函数w=ez所构成的映射的特点是: 把水平的带形域0Im(z)a(a?p)映射成角形域0arg wa. 因此, 如果要把带形域映射成角形域, 常常利用指数函数. * 例4 求把带形域0Im(z)p映射成单位圆|w|1的一个映射.[解] 由刚才的讨论知, 映射z=ez将所给的带形域映射成z平面的上半平面Im(z)0. 而根据(6.3.4)又知: * 例5 求把带形域aRe(z)b映射成上半平面Im(w)0的一个映射.[解] 带形域aRe(z)b经过映射 后可映射成带形域0Im(z)p. 再用映射w=ez, 就可把带形域0Im(z)p映射成上半平面Im(w)0. 因此所求映射为 * O (z) a b (w) O pi (z) O w=ez * z1,z2是关于圆周C的一对对称点的充要条件是经过z1,z2的任何圆周G 都与C正交. C R z0 z1 z2 z G * 定理三 设点z1,z2是关于圆周C的一对对称点, 则在分式线性映射下, 它们的象点w1与w2也是关于C的象曲线G的一对对称点.[证] 设经过w1与w2的任一圆周G 是经过z1与z2的圆周G 由分式线性映射过来的. 由于G 与C正交, 而分式线性映射具有保角性, 所以G 与C (C的象)也必正交, 因此, w1与w2是一对关于C 的对称点. * §3 唯一决定分式线性映射的条件 * 分式线性映射 中含有四个常数a,b,c,d. 但是, 如果用这四个数中的一个去除分子和分母, 就可将分式中的四个常数化为三个常数. 所以, 上式中实际上只有三个独立的常数. 因此, 只需给定三个条件, 就能决定一个分式线性映射. 定理 在z平面上任意给定三个相异的点z1,z2,z3, 在w平面上也任意给定三个相异的点w1,w2,w3, 则存在唯一的分式线性映射, 将zk(k=1,2,3)依次映射成wk(k=1