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e的“自然”之处 高2015级10班 赵鑫 性质 古希腊认为像1、2、3这样的数，是事物本身就有的属性，可以用来描述日常事物的数量和顺序，无需过多解释，就是3岁小孩也能快速理解，所以这些数被称为自然数。但这种朴素的自然观限制了数的范围，无法解释0，负数、分数、小数等数。古希腊人认为这些数并不自然，是人为了计算而发明出来的，不是自然的数。毕达哥拉斯就非常厌恶无理数，无理数的不规律破坏了和谐美。他的门生希帕索斯Hippasus就是因为发现了√2并公布出去，居然被毕达哥拉斯以渎神的罪名被淹死了，这被称为数学史上的第一次数学危机。后人认为毕达哥拉斯也发现了黄金分割率，但因为也是无理数，所以一直秘而不宣。现代我们知道，没有受过基础数学教育的人要想理解这些数，不仅需要了解更复杂的概念模型，还要熟悉加、减、乘、除等运算方法，只有这样才能完全明白。而更复杂的数，例如无理数、代数数和超越数，也需要了解更复杂的运算。我们的主角e，就是超越数。 （什么是超越数，我也不清楚。黏贴复制一段） 超越数 超越数的存在是由法国数学家刘维尔在1844年最早证明的。关于超越数的存在，刘维尔写出了下面这样一个无限小数：a=0.110001000000000000000001000…，并且证明取这个a不可能满足任何整系数代数方程，由此证明了它不是一个代数数，而是一个超越数。后来人们为了纪念他首次证明了超越数，所以把数a称为刘维尔数 （回到正题） 体现 假设你在银行存了1元钱（下图蓝圆），很不幸同时又发生了严重的通货膨胀，银行存款利率达到了逆天的100%！银行一般1年才付一次利息，根据下图，满1年后银行付给你1元利息（绿圆），存款余额=2元 银行发善心，每半年付利息，你可以把利息提前存入，利息生利息(红圆)，1年存款余额=2.25元 假设银行人品爆发，一年365天，愿意天天付利息，这样利滚利的余额≈2.71456748202元假设银行丧心病狂的每秒付利息，你也丧心病狂的每秒都再存入，1年，利滚利的余额≈2.7182817813元这个数越来越接近于e了！哎呀！费了半天劲也没多挣几个钱啊！对！1元存1年，在年利率100%下，无论怎么利滚利，其余额总有一个无法突破的天花板，这个天花板就是e，有兴趣可以用这个网上计算器算一下。我们和圆周率再做个对比，多边形的边数和利滚利的次数是相似的，对角线为1的n边等边形，n趋于无穷，周长就无限接近于π，即π是周长的最大值。年利率为1（100%）的1元存款，利滚利的次数n趋于无穷，存款就无限接近e，即e是存款的最大值。换种表述方法：每个完美的圆，其周长都是π的倍数，每个理想的存款，其余额都是e的倍数。  对数表 为了理解对数计算的优势，我们通过案例来说明，下面的表格里有两个数列： 微积分中的e 把一张张纸叠起来变成厚厚的词典，这是从2维变成3维的升维，这是积分；把一大块羊肉，切成一片片羊肉片，就是从3维为变2维的降维，这是微分。在微积分中，底数为e的指数函数e^x，其导数还是这个函数 e^x。也就是不论求多少次导数，其导数就像一个常量一样永远是恒定的。 举个例子：西瓜都切过吧？无论你怎么切一个实心球，其横截面都是圆面，也就是3维降2维，还是和圆有关。2维的圆面也是有很多1维的同心圆组成，也就是2维降1维，还是和圆有关。如上所说，球被降维了2次还是和圆有关，π这个常数你是甩不掉的。这一点对更高维度的球也适用 e^x也是这样，而且比球面更厉害，无论如何降，e^x总是老样子，一点都没变！就好像你切掉孙悟空的一部分，你以为是一小片肉，睁眼一看，居然是另一个孙悟空，而且一样大！这种自相似或全息性太匪夷所思，太好玩儿了。这样，刘慈欣《三体》中二箔片就可以化解了 为什么e被称为自然底数？ 按照古希腊的自然思想来看：对于一个完美的圆来说，π才是自然的，是圆本身的属性，尽管从数值上是一个“无理”的数。对于最快速的指数增长来说，e才是自然的，这是指数增长本身的属性。而科学家们也发现，在做数学分析时，用e做底数的对数 ln x 做计算，其形式是最简约的，用其他对数例如lg x 做计算，都会画蛇添足的多一些麻烦。ln x 就像美学上的“增之一分则太长，减之一分则太短”。对数学家来说，最简就是最美。这是一种纯理性的美，通过感官是无法欣赏的，只有熟悉数学的人才能深刻的感受到。这种美令无数数学家为之痴迷，虽然不会像毕达哥拉斯那样狂热，但也终其一生孜孜以求。 故事 2004年Google公司IPO上市，创始人Larry Page和Sergey Brin决定上市融资总额为2718281828美元，也就是e的前10位数字。因为他们都精通数学，很喜欢e的自然之美，当然也希望公司能像e^x一样实现指数型高速增长。Goo