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流体力学（一） 流体力学基本理论 清净念 各向同性张量 无论坐标系如何转动，若张量的分量总是保持不变 (与坐标系无关)，这样的张量称为各向同性张量。 标量（零阶张量）都是各向同性张量. 矢量（非零）（一阶张量）都是各向异性张量 二阶各向同性张量: ??ij 三阶各向同性张量: ??ijk 四阶各向同性张量一般形式为: 其中为?，?，?为标量。 四阶各向同性张量 若四阶各向同性张量H关于下标i，j对称， 则有?=?，且必然同时关于下标k，l对称。 其一般形式为 后面推演本构方程时有用 其中为?，?，?为标量。 上式含义，展开，即： 即只要证明四阶各向同性张量Hijkl能满足上述5个关系即可。 论证依据： 论证这些关系的方法是令坐标系 绕三个坐标轴作几种特殊角度的旋转。 一，证明(5).令坐标系ox1x2x3绕x1轴转180o （按右手法则转），得ox1’x2’x3’ ： 由张量定义 由各向同性张量定义 所以有 又例 由各向同性张量定义 同样道理，可证： 凡下标中有奇数个‘1’的分量均等于零。[（5）中一部分] 如果令坐标系ox1x2x3绕x2轴或x3轴转180o （按右手法则转），得新坐标系ox1’x2’x3’ ， 则以同样方法，可以证得： 凡下标中有奇数个‘2’或‘3’的分量均等于零。 从而证明了展开式（5）。 二，论证下标中有偶数个‘1’或‘2’或‘3’的分量， 即（1）,（2）,（3）式. 令坐标系ox1x2x3绕x1轴转90o （按右手法则转），得ox1’x2’x3’ ： 由张量定义 由各向同性张量定义 所以有 ---- (g) 又有 由各向同性张量定义 所以有 ----(a) 同理可得 ----(b) ----(c) ----(d) ----(e) ----(f) (a)~(g)7个等式。 类似地，如果令坐标系ox1x2x3绕x2轴或x3轴转90o （按右手法则转），得ox1’x2’x3’，同样方法可得 两组相应于(a)~(g)的等式，由这21个等式可得： 从而证明了展开式（1）（2）（3）。 三，最后讨论?与?，?，?之间的关系。 令坐标系ox1x2x3绕x1轴转45o （按右手法则转），得ox1’x2’x3’ ： 由张量定义 由各向同性张量定义 于是证明了（4），全部得证。 四阶各向同性张量一般形式为: 其中为?，?，?为标量。 若四阶各向同性张量H关于下标i，j对称， 则有?=?，且必然同时关于下标k，l对称。 其一般形式为 证明： 以及 由 以及 即可证得?=? 不难证明各向同性张量H关于下标i，j对称， 必然同时关于下标k，l对称。 张量的概念复习 张量的概念是矢量和矩阵概念的推广。 从物理上讲，研究对象的某种物理性质能够用一个 没有方向的数量来表示，表示这种物理性质的这个 量就是标量，例如温度、密度等。 研究对象的某种物理性质能够用一个包含3个正交 分量的物理量来表示，表示这种物理性质的这个量 就是矢量，例如速度矢量、作用力、电场强度等。 研究对象的某种物理性质需要9个分量才能描述， 表示这种物理性质的这个量就是二阶张量，例如我 们将要学到的流体中的变形速度、应力状态等. 感谢您来上课！