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Helly超图的边数问题
2010 年 6 月 伊犁师范学院学报（自然科学版） Jun.2010
4 伊犁师范学院学报（自然科学版） 2010 年
第 2 期 Journal of Yili Normal University （Natural Science Edition ） No.2
Helly 超图的边数问题
王海燕
摘 要：
关键词：
中图分类号：O157.5 文献标识码：A 文章编号：1673—999X （2010 ）02—0017—04
超图是最一般最复杂的离散结构，是图的自然推广，Helly 性质是超图理论中很重要的一个概念，一
个图具有 Helly 性质的充要条件是图不含三角形，因而具有 Helly 性质的超图是不含三角形的图的一种推
广. 本文首先给出强 k-Helly 性质的定义.
定义 1[1] 称超图 H (E ,=⋅⋅⋅,E ) 是 k-Helly 的，如果对每个集J ⊆ 1,2,⋅⋅⋅,m ，下面两个条件等价：
1 m { }
D I ⊆J ， I ≤k ，就有∩E ≠∅； D ∩E ≠∅.
( ) ( )
k i i
i∈I i∈J
定义 2 如果超图 H 和它的导出子超图H A 都具有 k-Helly 性质，则称超图 H 具有强 k-Helly 性质.
n
定理 1 设r 一致圈区间超图H 的顶点数为n ，且r . 若H 具有强 Helly 性质.则m(H ) ≤n −r +1 .
2
证明 设 X 是超图H 的顶点集，A 是 X 中形如A E ∪F ,E ,F ∈H 的最大子集. 按顺时针方向最边
上的顶点为x ,x .因为H 是强 Helly 超图，所以H 中不存在一条顺时针方向包含x ,x 的边，所以H 中的
1 2 2 1
边最多为 A −r +1 条. 当 A n 时， H 可以有最大的边数，其值为 n −r +1 . 特别地，定义在
n
X x ,x ,=⋅⋅⋅,x 上的r 一致超图H ，满足 ，且边集为
{ 1 2 n } r
2
H {{x1+i ,x2+i ,=⋅⋅⋅,xr +i }i 0,1,2,=⋅⋅⋅,n- r},
此超图具有强 Helly 性质且边数m(H ) n =−r +1 .
现在考虑顶点数为 n ，具
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