KdV孤子的含时微扰理论.pdf

第57卷第3期2008年3月 物 理 学报 1000．3290／2008／57(03)／1316．05 ACTAPHYSICASINICA ⑥2008 Chin．Phys．Soc． KdV孤子的含时微扰理论* 潘留仙1’2’ 俞慧友1’ 颜家壬1’’ 1)(湖南师范大学物理系，长沙410081) 2)(湖南涉外经济学院电子与信息工程系，长沙410205) (2007年4月4日收到；2007年6月21日收到修改稿) deVries)孤子的影响．将微扰项展为时间变量的傅里叶级数，发现其 研究了周期性含时微扰对KdV(Korteweg 常数项是导致长期项的根源．在一阶近似下，消除长期项，求出了孤子参数(高度、宽度和速度)随时间的缓慢变 化．傅氏级数中的其他项决定了微扰对孤子波形的一阶修正． 关键词：KdV孤子。孤子微扰论 PACC：0340，4720，4725 可积与非可积系统，具有较大的普遍性．在此基础 1．引 言 上发展起来的含时微扰论仍将保留这一特点．按孤 子微扰论直接法的处理程序，前两步(线性化与构造 孤子理论是非线性科学的重要组成部分，它在 微扰展开基)与文献[12]完全一样，为方便读者，我 物理学的许多领域(如流体物理、等离子体物理、凝 们将写出主要结果但不作证明．后两步(消除久期 聚态物理、非线性光学等等)有着日益重要的应用． 项以确定孤子参数随时间的演化以及求微扰对孤子 但在实际问题中，孤子方程往往不是以标准形式出 波形的一阶修正)与文献[12]有显著差别，是本文论 现的，它一般还含有一些比较微小的附加项，这些附 述的重点． 加项可以当作微扰来处理，因此孤子微扰论是孤子 理论中最有实用价值的内容之一．现有的孤子微扰 2．一阶近似方程 论大体上可以分为两类，即基于逆散射变换(IST)的 考虑带含时微扰的KdV方程 微扰论n叫’与直接微扰论‘卜旧J．然而不论哪种微扰 (1) 论，总是假定微扰项为孤子解的某种泛函，也就是说 “。+6““，+“一=eR[“，t]， 在随孤子一起运动的参照系内，微扰项是不依赖于 式中，下标代表对时，空坐标f，石求导，￡为一表征 微扰强弱的小参数(0e《1)，与非含时微扰不同， 时间的，它们属于非含时微扰论．但在实际问题中， 我们常常会遇到微扰依赖于时间特别是周期性依赖 这里的微扰项尺[H，t]除了为u，‘虬，‰，…的函 于时间的情况u¨，因此发展一种系统的孤子含时微 数(即Ⅱ的泛函)外，还将依赖于时间t．当不存在 微扰时，标准的KdV方程具有如下单孤子解： 扰论是一件颇有实际意义的工作． (2) 本文试图在文献[12，13]的基础上，以KdV方 ／2,o=2a2sech2a(算一菇。一4a2t)． 程为例，发展一种直接的孤子含时微扰论，一方面是 按文献[12]的做法，引进多重尺度时间变量t。= 因为KdV方程系列是物理学中有广泛应用的一类 ￡“f，n=0，1