MonteCarlo方法及其简单应用.pdf

科技信息 高校理科研究 Monte Carlo 方法及其简单应用 曲靖师范学院数学与信息科学学院 王 坤 ［摘 要］本文介绍了Monte Carlo 方法的思想，主要从定积分计算方面介绍了随机投点法和平均值法，并将其推广到二重积分、三 重积分和多重积分情形，最后以棋手分奖金问题介绍了Monte Carlo 方法在古典概率问题中的应用，分析了误差，介绍了减少误差 的方法，并给出这些方法的实例及其Mathematica 实现程序。 ［关键词］Monte Carlo 方法 积分计算 古典概率 模拟 1.引言 3.1 随机投点法 Monte Carlo 方法，源于第二次世界大战美国关于研制原子弹的“曼 b 对于定积分θ= 乙f(x)dx。为使计算机模拟简单起见，设a，b 有限， 哈顿计划”。该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌 a 城———摩纳哥的Monte Carlo———来命名这种方法,为它蒙上了一层神秘 0 ≤f(x) ≤M，令Ω={(x,y):a ≤x ≤b,0 ≤y ≤M}，并设(X,Y)是在Ω 上均匀分 色彩。 1 b 布的二维随机变量，其联合密度函数为 I(a≤x≤b,0 ≤y≤M) 。则θ= 乙f(x)dx Monte Carlo 方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。19 M(b- a) a 世纪人们用投针试验的方法来确定圆周率π。20 世纪40 年代电子计算 是Ω 中曲线y=f(x)下方的面积（如图1）。 机的出现,特别是近年来高速电子计算机的出现,使得用数学方法在计 算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能。 Monte Carlo 方法研究的问题大致可分为两种类型:一种是问题本身 就是随机的；另一种本身属于确定性问题,但可以建立它的解与特定随 机变量或随机过程的数字特征或分布函数之间的联系,因而也可用随机 模拟方法解决。 文献[1]- [7]介绍了Monte Carlo 方法的思想，但没有给出具体的实 例及实现过程。本文介绍了Monte Carlo 方法的思想，从计算定积分和古 典概率两方面的应用进行研究，给出了实例及其Mathematica 实现程 序。 图1 2.Monte Carlo 方法 假设我们向Ω 中进行随机投点。若点落在y=f(x)下方（即yf(x)）称 2.1 Monte Carlo 方法思想概述 为中的，否则称不中。则点中的概率为P= θ ，若我们进行n 次投 Monte Carlo 方法，有时也称随机模拟(Random Simulation)方法或统 M(b- a) 计试验(Statistical Testing)方法。它的基本思想是:首先建立一个概率模型 点，其中n0 次中的。则可以得到θ 的一个估计