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维普资讯 第 19卷 第 4期 福建师范大学学报 (自然科学版) Vo1．19 No．4 2003年 12月 JournalofFujianNormalUniversity (NaturalScience) Dec．2003 文章编号：1000—5277(2003)04—0009—04 一 凝聚环的若干刻划 周德旭 (福建师范大学数学与计算机科学学院，福建 福州 350007) 摘要 ：通过 引入FP一内射右模与FP 一平坦左模来刻划右 一凝聚环，证 明了R是右 一凝聚环 当且仅 当 FP一内射右R一模组成的模类是上分解的 (≥1)，当且仅 当FPn-平坦左R一模组成的模类是分解的 (≥2)． 关键词：FP一内射模 ；FP一平坦模 ； 一凝聚环 中图分类号 ：O153．3 文献标识码 ：A 文 中环均为有单位元的结合环，模为酉模 ，同态是指模 同态，图为同态交换 图．未指明的定义和符号 可参见文献[1]． 众所周知，如果正合列 0—+A—+B—+c—+0使得 B，C为平坦模 ，那么A也是平坦的．于是按 照文献E23，平坦左 R一模组成的模类是分解 的(resolving)．但是，其对偶模类 FP一内射模类未必满足对 偶性质 (即上分解 的(coresolving))．由此，本文讨论何时FP一内射模类满足对偶性质．更一般地 ，由 一 表示模类引入FP一内射右模和FP一平坦左模 ，给出了右 一凝聚环的若干刻划，即证明了R为右 一凝 聚环当且仅当FP一内射右R一模类是上分解的 (≥1)，当且仅当FP一平坦左 R一模类是分解 的(≥2)． 1 FP一内射模与 FP一平坦模 首先回顾文献[3，4，5]中一些基本概念． 右R模 P称为 一表示模 ，是指存在一右 R模正合列 F三 …一 F三 F。三 P一 0， (1) 这里每个 F 是有 限生成 自由模 (等价地 ，投射模)．显然地 ，每个有限生成投射模是 一表示 (任意 ∈ N)；模 是 0一表示模 (1一表示模)当且仅当它是有限生成的(有限表示的)；每个 (+ 1)一表示模是 一 表示的，反之未必．于是，如果每个 n一表示模是 (n+ 1)一表示的，则称环 R为右 一凝聚环． 在下文 中，用FP 表示所有 一表示右 R一模组成的模类．由FP一内射模 的定义，很 自然地引出下面 的定义． 定义 1 (1)令 ≥ 0．右R一模 称为FP一内射模，是指对任意P ∈FP 均有Ext]~(P， )一0． 用 (FP )表示所有 F尸一内射模组成的模类． (2)令 ”≥ 1．左R一模 己，称为 FP一平坦模 ，是指对于任意P ∈FP 均有 Tor~(P，己，)一0．用 F(FP )表示所有 FP一平坦左 R一模组成的模类． 显然，右模 是FP。一内射模 (FP一内射模)当且仅当它是 内射的(FP一内射的)；对于 ≤ ，每个 FP 一内射模是FP一内射，即I(FP ) I(FP )．左模 是FP一平坦当且仅 当它是平坦 (参见文献E43 的定义 2．1)，对于 ≤ ，每个 FP 一平坦模是FP一平坦，即F(FP ) F(FP )． 收稿 日期：2003—06—30 基金项 目：数学天元青年基金资助项 目 (AO3246656) 作者简介 ：周德旭 (1973一 )，男 ，福建永泰人，讲师 ，博士 维普资讯 1O 福 建 师 范 大 学 学 报 (自然 科 学 版) 首先给 出FP一内射模与 FP一平坦模 的一些基本性质． 命题 1 假设 {Mi)是一簇右 R一模 ，{U 是一簇左 R一模 ，则 (1)HzMi是 FP一内射的当且仅当每个 是 FP一内射的； (2)④，U 是 FP一平坦的当且仅当每个 是 FP一平坦的