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* Email: yc517922@126.com 图论及其应用 任课教师：杨春 应用数学学院 * 本次课主要内容 (一)、图的一因子分解 (二)、图的二因子分解 (三)、图的森林因子分解 图的因子分解 * 把一个图按照某种方式分解成若干边不重的子图之并有重要意义。理论上，通过分解，可以深刻地揭示图的结构特征；在应用上，网络通信中，当有多个信息传输时，往往限制单个信息在某一子网中传递，这就涉及网络分解问题。 一个图分解方式是多种多样的。作为图分解的典型例子，我们介绍图的因子分解。 所谓一个图G的因子Gi，是指至少包含G的一条边的生成子图。 所谓一个图G的因子分解，是指把图G分解为若干个边不重的因子之并。 所谓一个图G的n因子，是指图G的n度正则因子。 * 如果一个图G能够分解为若干n因子之并，称G是可n因子分解的。 图G1 在上图中，红色边在G1中的导出子图，是G的一个一因子；红色边在G2中的导出子图，是G的一个二因子。 图G2 研究图的因子分解主要是两个方面：一是能否进行分解(因子分解的存在性),二是如何分解(分解算法). (一)、图的一因子分解 * 图的一个一因子实际上就是图的一个完美匹配。一个图能够作一因子分解，也就是它能够分解为若干边不重的完美匹配之并。 定理1 K2n可一因子分解。 证明：把K2n的2n个顶点编号为1，2，…, 2n。作如下排列： 2n 1 3 2 : : n 2n-1 2n-2 : : n+1 * 图中，每行两点邻接，显然作成K2n的一个一因子。 2n 1 3 2 : : n 2n-1 2n-2 : : n+1 然后按照图中箭头方向移动一个位置，又可以得到K2n的一个一因子，不断作下去，得到K2n的2n-1个边不重的一因子，其并恰好为K2n。 例1 将K4作一因子分解。 1 2 3 4 K4 → 4 1 2 3 1 2 3 4 * 1 2 3 4 4 2 3 1 4 3 1 2 1 2 3 4 例2 证明：K4有唯一的一因子分解。 证明：由习题5第一题知：K4只有3个不同的完美匹配。而k4的每个1因子分解包含3个不同完美匹配，所以，其1因子分解唯一。 * 例3 证明：K2n的一因子分解数目为： 证明：由习题5第一题知：K2n的不同完美匹配的个数为(2n-1)!!。所以，K2n的以因子分解数目为(2n-1)!!个。即： 例4 证明：每个k (k0)正则偶图G是一可因子分解的。 证明：因为每个k (k0)正则偶图G存在完美匹配，设Q是它的一个一因子，则G-Q还是正则偶图，由归纳知，G可作一因子分解。 * 定理2 具有H圈的三正则图可一因子分解。 证明：先从三正则图G中抽取H圈，显然剩下边构成G的一个一因子。而H圈显然可以分解为两个一因子。所以G可以分解为3个一因子。 注：定理2的逆不一定成立。例如： 上图是三正则图，且可以一因子分解，但不存在圈。 * 定理3 若三正则图有割边，则它不能一因子分解。 证明：若不然，设G的三个一因子为G1,G2,G3。不失一般性，设割边e∈ G1。 显然，G-G2的每个分支必然为圈。所以e在G的某个圈中，这与e是G的割边矛盾。 注：没有割边的三正则图可能也没有一因子分解，如彼得森图就是如此！尽管它存在完美匹配。 (二)、图的二因子分解 如果一个图可以分解为若干2度正则因子之并，称G可以2因子分解。注意：G的一个H圈肯定是G的一个2因子，但是G的一个2因子不一定是G的H圈。2因子可以不连通。 * 例如，在下图中： 两个红色圈的并构成图的一个2因子，但不是H圈。 一个显然结论是：G能进行2因子分解，其顶点度数必然为偶数。(注意，不一定是欧拉图) 定理4 K2n+1可2因子分解。 证明：设 作路 * 其中，设Pi上的第j点为vk，则： 下标取为1, 2,…, 2n (mod2n) 生成圈Hi为v2n+1与Pi的两个端点连线。 例4 对K7作2因子分解。 解： v7 v6 v5 v4 v3 v2 v1 v7 v6 v5 v4 v3 v2 v1 v7 v6 v5 v4 v3 v2 v1 v7 v6 v5 v4 v3 v2 v1 * 定理5 K2n可分解为一个1因子和n-1个2因子之和。 证明：设V(K2n)=｛v1,v2,…,v2n｝ 作n-1条路： 脚标按模2n-1计算。