Q过程唯一性准则及其相关问题.pdf

张汉君等：Q过程唯一性准则及其相关问题 态．若 q：。。，则称 i为 P(t)的瞬时状态．如果对一切 i∈E，i均为 v(t)的稳定状态，则称 P(t)是 全稳定的，否则称v(t1为带瞬时态的． 因为在实际问题中，Q往往比P(t)= i())更容易得到．于是，所谓 Q一矩阵问题应运而生，即 任给一个 Q一矩阵，是否存在一个标准Markov过程 P(t)=。9i())，使得p：(0)=qi 如果Q过程存 ． 在，是否唯一?我们把存在性和唯一性问题称为 Q一矩阵问题．自1931年始，不少著名的概率论学者， 例如，文献 1【-51的作者均在该问题上展开过工作 并作出了重要贡献．从20世纪50年代开始 我国 概率论工作者，如王梓坤 [6】、侯振挺I7_9J、杨向群 [1o]、陈木法 [11]等人也对这一领域进行了广泛深入的 研究，取得了可喜的成就，并有若干专著出版． 上面 已经指出，任一 Markov转移函数的密度矩阵是 Q 矩阵．现在提出相反的问题，对任给的一 个矩阵 Q： (i)在什么条件下，Q成为 Q一矩阵，即何时 Q过程存在? (ii)若已知Q过程存在，何时Q过程唯一? (iii)己知 Q过程存在，如何实际求出Q过程?特别当Q过程不唯一时，如何实际构造出全部 Q 过程? 这三个基本问题就称为 Q 过程的构造性问题 (前两个问题也称为 Q一矩阵问题)．此问题是 Kolmogorov[11于 1931年提出来的，距今 己有八十多年的历史．在此期间 各 国概率论工作者做 了 大量的工作，取得了很大的进展，但也留下了一批尚未解决的问题．本文紧紧围绕上述三个基本 问题， 特别是 Q过程的唯一性问题来进行总结，并在文末提出了三个有关的开 问题． 2 存在性问题 Feller3【]构造 了全稳定最小 Q过程，即定理 2．1． 定理 2．1 设矩阵Q：(％，，J∈E)满足条件 (DK1)和 ∑ ≤一qii。。，V∈E kCi 则存在转移函数 F(t)=( (t)，，J∈E，t≥0)使得 (0)=％， ，J∈E． 并且 F(￡)是下列意义下的最小转移函数，即如果存在转移函数 P()=(p (t))，使得 p (0)：qij，则 Pij(t)≥fit(t)， i，J∈E，t≥0． 对于全瞬时Q过程 的存在性，1967年，Williams[12]得到了下面的结果 定理 2．2 设矩阵Q=(％，i，J∈E)满足条件 (DK1)和 (TI) qi=∞， Vi∈E (此时条件 (DK2)是 自动满足)，则存在转移函数 P()：(p ()，i，J∈E，t≥0)满足 Q=P(0)当且仅 当以下两个条件同时成立， (N) ∑ q0JAq。。，。，b∈E，n≠6； J {o，b) 中国科学：数学 第 45卷 第 5期 (S)存在一个无穷子集 KcE，使得 wil1i锄 s是用概率方法来证明该定理的．侯振挺和费志凌 [13]给出了其分析证明． 经过许多学者的努力 (参见文献 (5，9，11，12，14—17】)，使得一般情形下Q一矩阵的存在性问题有了 突破性的的进展，但仍未完全解决，限于篇幅不在此展开，有兴趣的读者，请参见文献 [9]． 3 Q 过程的唯一性问题 利用分解定理[14]，我们有下面的定理： 定理 3．1 设 Q：(qt，，J∈E)是含瞬时态的Q一矩阵，若 Q过程存在，必存在无穷多个 Q过 程，从而，Q过程不唯一． 由定理 3．1，我们讨论 Q过程唯一性 问题只需讨论全稳定的情形．1957年，Reuter[isj给出了Q 保守时 Q过程的唯一性准则，即定理 3．2． 定理 3．2 设矩阵Q=(q i，J∈E)满足条件 (DK1)和 (Ts) ∑qij=qt。。，Yi∈E，