Riemann积分与Lebesgue积分的联系.pdf

第 25 卷 第 9 期 绍 　兴 　文 　理 　学 　院　学 　报 Vol . 25 No . 9 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 2005 年 9 月 JOURNAL OF SHAOXIN G UNIVERSITY Sep . 2005 Riemann 积分与Lebesgue 积分的联系 1 2 汪文珑 　韩金林 ( 1. 绍兴文理学院　数学系 ,浙江 　绍兴 ,312000 ;2 . 绍兴县齐贤中学 ,浙江 　绍兴 312065) 摘 　要 :研究 Riemann 积分与Lebesgue 积分的关系. 证明了广义 Riemann 积分与 Lebesgue 积分 、柯西主值积分与 Lebesgue 积 分关系的若干结论. 关键词 :Riemann 可积 ;广义 Riemann 可积 ;柯西主值积分 ;Lebesgue 可积 ( ) 中图分类号 :O177 . 8 文献标识码 :A 文章编号 :1008 - 293X 2005 09 - 0015 - 03 　　　 　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 0 　引　言 熟知 ,Riemann 积分 、广义 Riemann 积分讨论的是区间上实值函数的积分 , 其较多地依赖函数的连续 性 、有界性 〔1〕;Lebesgue 积分讨论的是可测点集上可测函数的积分 , 在一定程度上克服了 Riemann 积分的 缺陷。本文主要从函数的连续性 、有界性和绝对可积性三个方面来考虑两类积分的联系 , 分析了广义 Riemann 积分与Lebesgue 积分 、柯西主值积分与Lebesgue 积分的相互联系 ,并给出了两类积分等价的充要 条件. 文中”Riemann 积分”、“Riemann 可积”、“广义 Riemann 积分”、“广义 Riemann 可积”、“柯西主值积分”、 “在柯西主值意义下可积”、“Lebesgue 积分”、“Lebesgue 可积”、“可测点集”分别记为“R 积分”、“R 可积”、 “广义 R 积分”、“广义 R 可积”、“V . P. 积分”、“V . P. 可积”、“L 积分”、“L 可积”、“E”等. 〔2 〕 对于 R 积分与L 积分的关系, 主要结论是 :若函数f ( x) a , b 〕上 R 可积, 则f ( x) a , b 〕上 L 在 〔 在 〔 b b ( ) ( ) ( ) ( ) 可积, 且 L f x dx = R f x dx . 但其逆命题不成立, 例如 〔0 , 1〕上的Dirichlet 函数是 L 可积但不是 ∫ ∫ a a R 可积. 1 　广义 R 积分