Strongart数学笔记：微分几何部分的学习小结.pdf

微分几何部分的学习小结 最近我在网上看了梁灿彬教授的微分几何与广义相对论视频讲 座，感觉不错就顺便买了本教材，前几天正好把前面的微分几何学完 了。尽管他主要是对物理系的学生讲的，像单位分解之类的大定理都 没有证明，但很多地方还是颇有心得，下面我就简单小结一下。 书中比较注重微分几何理论与经典分析理论之间联系，即作者所 说的“天地连通”。先是对dx做了微分形式的解释，避免了很多无 聊的哲学争论，然后用微分形式的积分定义流形上函数的积分，这就 对经典积分做了全新的解释，还把经典的积分公式推广为Stokes theory与Gausslaw，特别对沿边界积分做了一个沿切向分量的细致 解释。最让人欣慰还是用微分几何的语言重述R^3中的场论，如何借 助对偶与*算子解释了R^3中为什么没有出现微分形式，比如矢量的 叉积其实就是先作用Hodge*再作用外积：×=∧·*，最后用外微分 做了刻画grad、curl与div，借助于Poincare lemma可以轻松的证 明了“无旋场必可表梯度”、“无散场必可表旋度”。 既然讲述微分几何，对张量语言想必是非常关注的。作者先给出 了一个“张量面面观”，清楚的解释了张量作为函数、作为向量空间 之间的映射与对偶空间之间的映射这三种观点的转化与联系，避免了 只把张量当成满足相应关系的一堆数初级见解。在此观点的影响下， 作者特别讨论的张量的抽象指标记法，借助此记法给出了几个常用运 算关系，这对后面的计算化简是非常有帮助的。 作者特别讨论了Christoffel symbol是不是张量的问题。很多 书中是直接通过坐标基协变导数的展开系数来引入Christoffel symbol，然后发现它不满足张量变换律，就说它不是一个张量，有些 书为了防止惯性思维还要特强调一下。但作者却是先讨论了协变导数 差的局部不变性，给出一个一般的张量C，然后把其中一个协变导数 取为普通导数，得到的Christoffel symbol也就自然成为张量了。 这里说它是张量是先取定一个坐标系，然后它在此坐标系下的分量表 现对其他坐标系满足张量法则，如果没有取定坐标系笼统的看，它自 然是不成为张量的。因此我们在说Christoffel symbol是张量的时 候，最好要加一句它是依赖于坐标系的张量。 顺便谈一下关于坐标系的问题，书中着重讨论了坐标系主动观点 与被动观点的一致性，也就是说点之间的主动变换可以通过拉回等价 于坐标系之间的变换。在Lorenz坐标系中，所谓的伪转动（boost） 本质上就是狭义相对论中Lorenz变换，其欧式空间的类比则是转动 对应着正交变换。 既然是为相对论准备的微分几何，那么似乎更侧重于一般的 pseudo-Riemann space，其中有一些在普通的Riemann geometry见 不到的怪异性质。一般Riemann manifold中的度量到了 pseudo-Riemann manifold中称为度规，它可正可负也可以对非零向 量取零，由此得到相应的类空、类时与类光向量。对于某个空间的超 曲面而言，其类光向量（null vector）作为法向量是可以位于切平 面之内的，而类光超曲面上是没有诱导度规的。最大的挑战还在于测 地线的最短性，这里主要不是指Riemann geometry中因为越过共轭 点而造成对整体最短性的破坏，而是由更本质的线元可负导致结果。 事实上，对于类时测地线而言，它恰恰就是（局部）最长的，利用这 一点可以轻松的解释相对论中的双生子详谬。 有些人可能会觉得微分几何部分太简略了，但视频中讲到这只是 后面讲相对论中最必要的，其他的部分可以在讲到相关理论的时候随 时补充。目前我刚看完尺缩钟慢、双生子效应，用几何语言能够轻松 的搞定，感觉还是非常令人兴奋的，等以后有了心得再文章哈~ 本文作者Strongart 是一位自学数学的牛人，现在他依然努力坚 持自学数学，似乎又有了新的突破，还录了一些数学专业教学视频放 在网上。然而，他却一直没有收到专业人士的邀请，至今只能依靠网 络书店购买书籍，无法获取海量的论文资料，也没有机会和一流的学 者们交流，最后只能走上娱乐拯救学术的道路，这不论对他自己还是 对中国的数学事业都将是一个损失。这里我希望一些有识之士能够用 自己的实际行动支持一下！ 欢迎大家二次分享此文档，请注明文档作者Strongart，欢迎访问 Strongart的新浪博客。